Cтраница 3
Хотя гомоморфизм перемещения может быть определен в большей общности, мы ограничимся случаем силовской р-подгруппы Р группы X. [31]
ТЕОРЕМА 14.4.7. Группа G обладает фактор-группой О / и ( О), изоморфной силовской р-подгруппе Р, тогда и только тогда, когда для любой подгруппы Q группы Р элемент, порядок которого взаимно прост ери который перестановочен с подгруппой Q в целом, перестановочен с ней поэлементно. [32]
Пусть Н - подгруппа, оставляющая па месте t букв, и Р - силовская р-подгруппа группы Я, которая оставляет па месте w - t букв. [33]
В предыдущих разделах было установлено, что для некоторых классов групп перестановок гарантировано существование силовских р-подгрупп небольшого индекса. Вопрос о том, можно ли найти образующие таких подгрупп за полиномиальное время, остается открытым. Трудности заключаются в том, что определение Р является силовской р-подгруппой не определяет Р однозначно и поэтому не дает эффективного теста на установление принадлежности. Однако для заданной ( образующими) некоторой р-подгруппы Р и элемента aeG легко установить, учитывая, является ли порядок сг, Р степенью р, принадлежат ли а и Р общей силовской р-подгруппе. Именно это используется для доказательства следующего результата. [34]
Подгруппу Р С G порядка Р рп ( если таковая существует) будем называть силовской р-подгруппой группы G. [35]
Пусть р - простое число, делящее порядок группы Я, и пусть Р - силовская р-подгруппа группы Я. [36]
Пусть G - конечная группа и Ф - ее подгруппа Фраттини, Пусть Р - силовская р-подгруппа группы Ф; последняя как характеристическая подгруппа группы G инвариантна в ней. [37]
Доказать, что любая силовская р-подгруппа прямого произведения конечных групп А и В является произведением силовских р-подгрупп сомножителей А и В. [38]
Пусть в конечной группе для каждого простого числа р, делящего порядок группы, существует лишь единственная силовская р-подгруппа. Доказать, что группа обладает нетривиальным центром. [39]
Говорят, что группа G р-нормальна, если центр Z силов-ской / 7-подгруппы Р является центром любой другой силовской р-подгруппы Р ], которая его содержит. Это свойство-частный случай слабой замкнутости; оно равносильно требованию слабой замкнутости центра Z группы Р в группе Р относительно G. Действительно, предположим, что группа G / 7-нормальна. В силу / 7-нормальности группы О получим, что Z - центр подгруппы PJ. Обратно, предположим, что центр Z слабо замкнут в подгруппе Р и что Z Plt где Р1 - Другая силовская / 7-подгруппа. [40]
Если G pks и s не делится на р, то подгруппы порядка pk группы G называются силовскими р-подгруппами. [41]
Многообразие ( s9l) n, которое составляют все локально конечные группы периода n e N, имеющие абелевы силовские р-подгруппы, к. [42]
Что касается теоремы 3, то равенство Np ( G: N ( P)) прямо вытекает из сопряженности силовских р-подгрупп ( теорема 2) и из общего утверждения о длине орбиты HG в § 3 из гл. [43]
Любая р-подгруппа ( р - простое) произвольной группы G содержится в некоторой максимальной р-подгруппе группы G, которую называют силовской р-подгруппой группы G. В отличие от конечного случая силовские р-подгруппы произвольной группы G могут оказаться не только не сопряженными между собой в G, но даже и не изоморфными. [44]
Пусть С - конечная группа, х 6 Р 6 Sylp ( G) и пусть д: лежит в центре любой силовской р-подгруппы из С, в которой он содержится. [45]