Вейвлет-преобразование
Cтраница 3
Вейвлет-анализ обеспечивает двумерную развертку одномерного сигнала, при которой и время и масштаб ( частота) рассматриваются как независимые переменные, что позволяет анализировать временной ряд одновременно во временной и в частотной областях. Вейвлет-преобразование помогает визуализировать самоподобные или самоаффинные свойства фрактальных объектов. Вейвлет-преобразование с его иерархическим базисом хорошо приспособлено к анализу каскадных процессов, моно - и мультифрактальных множеств и вероятностных мер, имеющих иерархическую природу. [31]
Не должно вызывать удивления, что это обстоятельство существенно облегчает восстановление исходного сигнала / по Wf. Фактически для вейвлет-преобразования существует не одна формула обращения, как в случае преобразования Фурье, а произвольное число таких формул. [32]
В буквальном переводе с английского языка слово wavelet означает маленькая волна, такое название объясняется формой солитоноподобных функций, используемых в вейвлет-анализе. Краткая сущность вейвлет-преобразования состоит в разбиении сигнала на смаштабированные и сдвинутые по оси времени версии оригинального ( материнского) вейвлета. Вместо амплитудно-частотной характеристики сигнала, как после фурье-преобразования, получается масштабно-временная, где масштаб определяет собой частотные характеристики сигнала. [33]
С целью апробации настоящей методики выполнено компьютерное моделирование и вейвлет-анапиз классических объектов теории фракталов: триадного множества Кантора и мультипликативного биномиального процесса. Показано применение непрерывного вейвлет-преобразование к статистическим данным об отказах, полученным при испытаниях образцов. Для проверки гипотезы о мультифрактальности потока отказов вейвлетному анализу подвергнуты статистические данные нескольких выборок. На рис. показана картина коэффициентов непрерывного вейвлет-преобразования реализации точечного процесса, моделировавшего последовательность отказов образцов в одной из выборок. Двумерные картины коэффициентов вейвлет-преобразования процесса показывают, что последовательное ветвление ( отражающееся в появлении характерных вилочек) порождает мультифрактальную временную структуру. Симметричность ветвей графика относительно его вертикальной оси нарушена в связи с неравномерностью распределения вероятностной меры по множеству-носителю, что является предпосылкой появления мультифрактала. [34]
Кратко опишем алгоритм сжатия изображения [4], основанный на вейвлетном разложении. После того, как получено дискретное вейвлет-преобразование ( ДВП) изображения, все коэффициенты вейвлет-преобразования должны быть упорядочены таким образом, чтобы коэффициенты, соответствующие более грубому разрешению, предшествовали коэффициентам, относящимся к тонкому разрешению. [35]
Коэффициент вейвлет-преобразования считается значимым, если он по абсолютной величине 77, где 77 - выбранное значение порога. В противном случае коэффициент вейвлет-преобразования считается незначимым. [36]
Визуализация результатов в логарифмических координатах связана с необходимостью показать довольно широкий диапазон масштабов. Величины коэффициентов W ( a b) вейвлет-преобразования закодированы оттенками серого цвета. Это кодирование выполнено независимо для каждого значения а, исходя из максимального значения W ( a b), полученного на данной шкале. [37]
Окончательное слияние данных можно проводить попиксельно, однако это не всегда приводит к оптимальным результатам. В частности, предложено использовать для этой цели дискретное вейвлет-преобразование, которое позволяет представлять характерные признаки изображений с помощью вейвлет-коэффициентов в компактной форме. После надлежащего слияния вейвлет-коэффициентов возможен обратный переход к окончательному изображению. [38]
Для всех трех выборок значение остаточного квадратичного отклонения R превышало 0 95, что свидетельствует о возможности линейной аппроксимации. В работах [4, 5] показано, что линии локальных максимумов вейвлет-преобразования воспроизводят иерархическую структуру вероятностной меры ( при ее наличии), а предел отношения ln ( N ( a)) / n ( a) при стремлении масштаба к нулю ( а - 0) ассоциируется с фрактальной размерностью. [40]
R и, следовательно, существует эквивалентно много функций вида и: R i - С что и функций /: Е - С. Сказанное означает, что значения W / ( a, b) истинных вейвлет-преобразований должны быть коррелированны между собой пока еще загадочным образом. [41]
Кратко опишем алгоритм сжатия изображения [4], основанный на вейвлетном разложении. После того, как получено дискретное вейвлет-преобразование ( ДВП) изображения, все коэффициенты вейвлет-преобразования должны быть упорядочены таким образом, чтобы коэффициенты, соответствующие более грубому разрешению, предшествовали коэффициентам, относящимся к тонкому разрешению. [42]
В современных кодеках ( кодер-декодер), применяемых для сжатия неподвижных изображений, используются алгоритмы вложенного дерева нулей Шапиро [5], кодового дерева Сайда и Перлмана [6] и недавно предложенный Тьяном и Уэллсом разностно-вейвлетный алгоритм [7], основанный на кодировании разностного множества. Относительно дальнейшей информации о сравнительных характеристиках этих и других подобных алгоритмов мы отсылаем читателя к книгам [8] и [9], где содержится также обширная информация о других возможных областях применения вейвлет-преобразований. [43]
Данные, которые мы будем использовать для восстановления /, теперь уже не значения функции, взятые в равноотстоящие моменты времени kT, а результаты вейвлетных измерений ( /, о б), а именно, соответствующим образом выбранные значения вейвлет-преобразования Wf: R. Следует всегда помнить, что данный сигнал / кодируется в его вейвлет-преобразование с огромной избыточностью. При таких обстоятельствах, не должно вызывать удивления, что дискретного множества Wy-значений уже достаточно для восстановления данного / как L2 - объекта или даже поточечно, причем даже без предположения об ограниченности спектра временного сигнала. [44]
Вейвлет-анализ обеспечивает двумерную развертку одномерного сигнала, при которой и время и масштаб ( частота) рассматриваются как независимые переменные, что позволяет анализировать временной ряд одновременно во временной и в частотной областях. Вейвлет-преобразование помогает визуализировать самоподобные или самоаффинные свойства фрактальных объектов. Вейвлет-преобразование с его иерархическим базисом хорошо приспособлено к анализу каскадных процессов, моно - и мультифрактальных множеств и вероятностных мер, имеющих иерархическую природу. [45]
Страницы: 1 2 3 4