Cтраница 3
В данный момент нас интересует вопрос о том, каким образом одну линейно независимую систему векторов можно преобразовать в другую. В рассмотренном выше случае трехмерного пространства обе системы - исходная ( любые три вектора, не лежащие в одной плоскости) и конечная ( три попарно ортогональных вектора единичной длины) - содержали одинаковое число векторов. К такому преобразованию мы придем, заменяя векторы исходной системы по одному до тех пор, пока шаг за шагом не заменим все старые векторы на новые. Поэтому прежде всего необходимо выяснить, в каких случаях один вектор допустимо заменять другим. [31]
Определенная формулой (8.1) величина обладает основными свойствами обычной вероятности. Тот факт, что квадрат модуля амплитуды - это вероятность наблюдения системы в состоянии ж, согласуется с тем, что физические состояния в квантовой механике соответствуют векторам единичной длины, а преобразования этих состояний не меняют длины, т.е. унитарны. Действительно, ( ф ф х сж 2 1 ( сумма вероятностей равна 1), а применение физически реализуемого оператора должно сохранять это соотношение, т.е. должно быть унитарным. [32]
Здесь под обозначением кет-вектора х) понимается, что х есть ( чистое) квантовое состояние. Гильбертово пространство, ассоциируемое с нашей квантовой системой, является комплексным векторным пространством с базисом из 2 векторов, и состояние нашей системы в любой момент времени представлено вектором единичной длины этого гильбертова пространства. Поскольку умножение этого вектора-состояния на фазовый множитель единичной длины не изменяет состояние системы, нам достаточно только 2 - 1 комплексных чисел для полного описания этого состояния. [33]
Всякой прямой пространства 1S3 ставятся в соответствие плюккеровы координаты, определенные в этом случае с точностью до знака. С помощью этих координат прямых устанавливается соответствие между прямыми и их полярами в пространстве 1Sa, a также определяются векторы прямых и их поляр. Одна из двух взаимных поляр изображается вектором единичной длины, а другая - вектором мнимоединичной длины. Многообразие пар взаимно полярных прямых пространства 1SS изображается плоскостью S2 ( i) с радиусом кривизны, равным 1 или i, причем это соответствие является непрерывным. [34]
Если понятие базиса является одним из основных моментов при соединении геометрии векторных пространств с алгеброй, то выделение ортогонального базиса также легко объяснить. Базис необходим для перехода от геометрической конструкции к алгебраическим вычислениям, а ортогональный базис нужен нам для того, чтобы сделать эти вычисления более простыми. Существует еще одно ограничение, введение которого делает базис почти оптимальным: мы начинаем с набора взаимно ортогональных векторов и нормализуем их к векторам единичной длины. В результате ортогональный базис превращается в ортонормированный. [35]
Представив наглядным образом ситуацию в привычном для нас трехмерном пространстве, легко показать, что в пространстве произвольной размерности d соотношения (3.10) и (3.11) дают решение нашей задачи. Вычислительную сложность этой примитивной операции можно легко оценить. Следовательно, вектор а ортогонален вектору п и каждому из ( d - 2) векторов p p d l и может быть определен в результате решения системы из ( d - 2) уравнений с ( d - 1) неизвестными с последующим нормированием результата, чтобы получить вектор единичной длины. Эта процедура включает O ( dz) арифметических операций. Для вычисления каждого р / г требуется 0 ( d) арифметических операций, а выбор р - осуществляется за O ( Nd) операций. [36]
О и - 62, пространство модулей одномерно. Таких решений не существует для многих положительно определенных форм со, например для 24-мерной решетки Лича. Предположим вдобавок, что ос не является ортогональной прямой суммой двух векторов единичной длины. В этой ситуации Финтушел и Стерн доказали, что At - является компактным одномерным многообразием, край которого состоит ровно из одной точки. В доказательстве Финтущела и Стерна не используются ориентируемость, теорема Таубса и теорема о воротнике, хотя по-прежнему применяется трудная аналитическая техника, опирающаяся на соображения компактности. Более того, эта ограниченная форма теоремы Дональдсона справедлива для почти всех конечных фундаментальных групп. [37]
Классический метод наискорейшего спуска в этом смысле далек от идеала. Значительно более эффективные способы выбора направления, использующие вторые производные целевой функции, представлены Гиллом и Мюр-рэем в гл. Определяя в этом разделе понятие направления наискорейшего спуска, мы называли скоростью спуска приращение функции F ( x) за счет сдвига ее аргумента на вектор единичной длины, причем длина эта измерялась евклидовой нормой. [38]
Подобно обычным жидкостям, жидкие кристаллы текучи и принимают форму сосуда, в котором помещены. А с другой стороны, образующие их молекулы упорядочены в пространстве. Правда, это упорядочение не такое полное, как в обычных кристаллах. Пространственная ориентация молекул жидких кристаллов состоит в том, например, что все длинные оси молекул одинаково ориентированы. Для характеристики ориентационного порядка вводится вектор единичной длины L, называемый директором, направление которого совпадает с направлением усредненной ориентации длинных осей молекул. Кроме того, вводится еще одна величина, параметр порядка S, который характеризует степень ориентационного упорядочения молекул. [39]