Cтраница 3
Пользуясь полученными выше результатами для однородной системы, нетрудно вывести из них ряд следствий и придать этим результатам геометрическую формулировку. Иначе говоря, число линейно-независимых векторов, самое большее, равно числу измерений пространства. [31]
Рассмотрим некоторые свойства и связи в матрицах Г и В. Напомним, что рангом матрицы называется максимальное число линейно-независимых векторов - строк матрицы, и численно ранг матрицы равен порядку ее наивысшего ненулевого минора. Важнейшее свойство такой матрицы заключается в том, что она сохраняет свой ранг при любых достаточно малых возмущениях, а ее нормальное решение имеет непрерывный характер. [32]
В противном случае в L входит некоторый вектор х ( 3) такой, что х ( 11, jc ( 2, xW линейно-независимы. Продолжая так и дальше, мы, путем присоединения конечного числа линейно-независимых векторов jf ( s), исчерпаем все L, так как не существует более п линейно-независимых векторов. Общее число k этих векторов х ( 1 дает нам измерение подпространства L. Если окажется, что k n, то L совпадает с полным й-мерным пространством. [33]
И, наоборот, выражение ( 51) дает для каждого Р единственную нагрузку. Таким образом, в n - мерном пространстве существует бесчисленное множество базисов, так как существует бесконечное множество п линейно-независимых векторов. [34]
В противном случае в L входит некоторый вектор х ( 3) такой, что х ( 11, jc ( 2, xW линейно-независимы. Продолжая так и дальше, мы, путем присоединения конечного числа линейно-независимых векторов jf ( s), исчерпаем все L, так как не существует более п линейно-независимых векторов. Общее число k этих векторов х ( 1 дает нам измерение подпространства L. Если окажется, что k n, то L совпадает с полным й-мерным пространством. [35]
Если этими векторами исчерпывается все L, то L совпадает с некоторым LJ в прежнем смысле. В противном случае в L входит некоторый вектор Jt ( 3) такой, что дс ( 1), дг ( 2, д и) линейно-независимы. Продолжая так и дальше, мы, путем присоединения конечного числа линейно-независимых векторов jc ( i, исчерпаем все L, так как не существует более п линейно-независимых векторов. Общее число k этих векторов х дает нам измерение подпространства L. Если окажется, что k n, то L совпадает со всем л-мерным пространством. [36]
Если этими векторами исчерпывается все L, то L совпадает с некоторым LJ в прежнем смысле. В противном случае в L входит некоторый вектор Jt ( 3) такой, что дс ( 1), дг ( 2, д и) линейно-независимы. Продолжая так и дальше, мы, путем присоединения конечного числа линейно-независимых векторов jc ( i, исчерпаем все L, так как не существует более п линейно-независимых векторов. Общее число k этих векторов х дает нам измерение подпространства L. Если окажется, что k n, то L совпадает со всем л-мерным пространством. [37]
Покажем, что всякое решение уравнения ( 154) должно быть их линейной комбинацией. Вектор у может оказаться и комплексным, но в этом последнем случае его вещественная и мнимая часть в отдельности должны удовлетворять уравнению ( 154), так как это уравнение имеет вещественные коэффициенты. Мы можем таким образом считать, что тот вектор у, о котором мы упоминали выше, есть вещественный вектор. Как мы доказали раньше, он должен быть ортогонален ко всем векторам х при &3, так как этим последним соответствуют значения k, отличные от Xj. Таким образом выходит, что вектор у будет линейно-независимым со всей совокупностью векторов л: ), т.е. мы имеем ( п - - 1) линейно-независимых векторов, что невозможно. Итак, для всякого корня уравнения ( 144) кратности т уравнение ( 154) имеет равно т линейно-независимых вещественных решений. [38]