Cтраница 2
Монография Symbolic logic, первое издание [105] которой вышло в 1881 году, второе [106] - в 1894 году, является основным сочинением в серии работ Венна [99- 106], посвященных обоснованию и развитию алгебры логики Буля. Термин Symbolic logic, как отмечается в примечании к книге Черча [39], был, по-видимому, также впервые применен Венном, хотя еще Буль говорил о Symbolical reasoning ( см. [39], стр. [16]
А л г ебра в России в предреволюционные годы. Обзор развития алгебры в СССР, написанный Н. Г. Чеботаревым и опубликованный в сборнике Математика в СССР за 15 лет, начинается замечанием, что в нашей стране... Действительно, в России до Октябрьской революции не было устойчивых алгебраических школ. Тем не менее в конце прошлого и начале нынешнего столетий в нашей стране был выполнен ряд первоклассных алгебраических исследований, оставивших большой след в истории математики. [17]
В развитии алгебры углубленное изучение отдельных типов алгебраических структур происходило параллельно с выяснением их общих свойств. Рассмотренные нами алгебраические структуры позволяют сразу указать то общее, что их объединяет: все они представляют собой определенную систему, состоящую из некоторого множества и заданных на нем операций. [18]
В арифметике были введены положительные рациональные числа и изучены их свойства. В процессе развития алгебры и математического анализа понятие числа пришлось значительно расширить. [19]
Само собой разумеется, что то блестящее развитие алгебраической науки, которое привело к ее сегодняшнему состоянию, не было случайным-оно явилось частью общего развития математики и в значительной мере вызывалось необходимостью ответить на запросы, предъявляемые к алгебре со стороны других математических наук. С другой стороны, развитие алгебры само оказывало и оказывает очень большое влияние на развитие смежных ветвей науки, особенно усилившееся благодаря тому расширению области приложений, которое характерно для современной алгебры, и поэтому иногда говорят даже о происходящей сейчас алгебраизации математики. [20]
Решение систем линейных алгебраических уравнений имеет очень давнюю историю. Индийцы, которые являются изобретателями десятичной системы счисления и алгебраического метода, решали системы линейных алгебраических уравнений, начиная с VI века. На первых этапах развития алгебры символами обозначали только неизвестные, тогда как заданные коэффициенты вводили в систему в числовом виде. [21]
Известно, что открытие несоизмеримости в школе Пифагора привело греческих ученых не к расширению понятия числа, а к сведению вопросов арифметики и алгебры к геометрическим задачам, к изображению чисел и непрерывных величин с помощью отрезков и прямоугольников, к созданию геометрической теории отношений Евдокса и к геометрической алгебре. В древнегреческом геометрическом исчислении, изложенном в Началах Евклида, сложение и вычитание величин сводится к таким же операциям над отрезками, умножение величин - к построению прямоугольника на соответствующих отрезках, деление - к операции приложения геометрических фигур. Геометрическая алгебра, сыгравшая известную роль в развитии математики, стала из-за ограниченности своих средств тормозом в развитии алгебры в XVI-XVII вв. И если алгебра Виета еще тесно связана с геометрией и в ней по евклидовому образцу строго соблюдается принцип однородности, согласно которому нельзя складывать, например, площадь с линией, и если Виету нужно было образовать выражение вида ab с, он указывал, например, что а и b - линии, ас - плоская фигура, или а - линия, b - плоская фигура, ас - тело, то уже Декарт в своем стремлении, с одной стороны, освободить алгебру от подчинения геометрии, а с другой - открыть путь в геометрию числовой алгебре по-новому строит исчисление отрезков. [22]
Среди трудов Исаака Ньютона Всеобщая арифметика пользуется сравнительно меньшей известностью. Немеркнущую мировую славу великому геометру принесли прежде всего его Математические начала натуральной философии и Оптика, а затем созданное им параллельно с Лейбницем исчисление бесконечно малых. Ньютона но алгебре, изданные в 1707 г. под названием Arithmetics universalis, до сих пор заслуживают пристального внимания и историков науки и широких кругов читателей, особенно педагогов, заслуживают не только потому, что читаны были они Ньютоном, но и в силу той исключительно крупной роли, которую они сыграли в развитии алгебры как науки и как предмета школьного преподавания. [23]
И другие понятия мы относим к алгебре: символику, применение обозначений для переменных, которые не входят в обиходный язык. У Диофанта мы наблюдаем, как слово число отшлифовывается до символа, над которым выполняются вычисления. У индийцев и арабов этот процесс идет дальше; коссисты1 позднего христианского средневековья имели целую систему символов для неизвестного и его степеней, причем они отнюдь не ограничивались третьей степенью, как это обычно делали геометры. Важным шагом в развитии символической алгебры было появление в середине XV столетия формально записанных дробей, содержащих многочлены от неизвестных в числителе и знаменателе. [24]
Был написан также третий том, известны названия четвертого и пятого, а всего автором было задумано 17 томов. Трактат должен был широко осветить развитие алгебры вплоть до современности во всех ее разветвлениях и аспектах с включением различных отделов теории чисел и близких вопросов анализа, теории функции и других дисциплин. [25]
При всем восхищении, вызываемом построением Евдокса, не оставляющим желать ничего лучшего в отношении строгости и стройности, следует признать, что ему недоставало гибкости и оно было мало подходящим для развития вычислительной техники и особенно алгебраического исчисления. Кроме того, оно могло казаться логически необходимым только умам, влюбленным в строгость и искушенным в абстракции; естественно поэтому, что на закате греческой математики мы видим постепенное возрождение наивной тонки зрения, сохранявшейся в традиции логистов. Хотя это изменение отношения к понятию числа связано с одним из самых важных достижений в истории математики, а именно развитием алгебры, само по себе оно, конечно, представляло не прогресс, а скорее шаг назад. [26]
Этот факт, естественно, наводил на мысль о том, что уравнение п-й степени ( п 0) должно иметь п корней. Впервые эту мысль явно высказал в 1629 г. замечательный математик Альберт Жирар в главном своем труде Новое открытие в алгебре. Родом из Франции, протестант Жирар бежал от преследований католической церкви в Голландию, где, став учеником Симона Стенина, внес значительный вклад в развитие алгебры. Не установлено, была ли книга Жирара известна Декарту. Декарт в своей Геометрии ( 1637) ставит вопрос: Сколько корней может иметь любое уравнение. [27]
С 30 - х годов в алгебре все большее значение начинают приобретать - структуры, связанные. В результате возникла обширная новая область математики - общая теория алгебраических систем, или теория моделей, пограничная между алгеброй и логикой и обладающая глубокими связями с самыми разнообразными математическими дисциплинами. Нам кажется, что расцвет общей теории алгебраических систем и ее многочисленных подразделений ( строение формальных теорий, структура аксиоматизируемых классов, итеративные системы и классы автоматов) является в какой-то мере характерной чертой развития алгебры второй половины XX века. Столь же характерной чертой современной алгебры можно считать исключительный размах исследований по алгебраической геометрии, ныне обычно выделяемой из алгебры в особую науку, а также по теории категорий и гомологической алгебре и по теории таких классических объектов, как группы, кольца и решетки. С конца прошлого века алгебраические исследования, проводимые в нашей стране, начинают составлять существенную часть общего потока мировых алгебраических исследований. Более заметной эта часть стала в 30 - е годы и в особенности в послевоенные годы - годы подлинного расцвета советской науки и культуры. Ниже мы попытаемся более подробно проследить процесс возникновения и развития основных советских алгебраических школ в первую четверть века существования Советского государства, а также кратко отметить некоторые из наиболее существенных открытий в области алгебры, сделанных в этот период. [28]
В современной формулировке тот же вопрос ставит информатика: достаточно ли евклидовых примитивов для реализации всех геометрических вычислений. Архимед предложил ( корректную) конструкцию для трисекции угла в 60 градусов со следующим добавлением к множеству примитивов: даны два круга А и В и точка Р; мы можем выбрать отрезок MN прямой и разместить его так, чтобы прямая прошла через Р, причем точка М оказалась бы на границе А, а N - на границе В. Такие идеи выглядят почти предвосхищением методов теории автоматов, которая проверяет мощность вычислительных моделей при разных ограничениях. Увы, доказательство неполноты евклидовых средств должно было дожидаться развития алгебры. [29]
После падения Западно-Римской империи ( 476) математика ( и наука в целом) в странах эллинизма и в странах бывшей Римской империи пришла в упадок главным образом в силу новых неблагоприятных политических, экономических и общественных условий. Еще около 80 лет до падения Рима было основано Византийское государство со столицей Константинополем, просуществовавшее до середины XV в. Работы ученых этих стран в области геометрии нельзя, конечно, сравнить с огромным их вкладом в развитие алгебры, тригонометрии и арифметики. Тем не менее их заслуги в деле некоторого развития геометрической науки неоспоримы и сводятся главным образом к следующему: 1) ученые стран Ближнего и Среднего Востока уже в VIII-IX вв. [30]