Cтраница 3
В Приложении IV приводятся дедуктивные системы, в рамках которых можно выполнить дедуктивное построение математического анализа, но вопрос о непротиворечивости анализа в книге не рассматривается. Действительно, важнейшей задачей теории доказательств в рамках оснований математики является достаточно эффективное доказательство непротиворечивости анализа. Однако Бернайс в этом своем высказывании явно сузил роль гильбер-товской теории доказательств рамками оснований математики. Развитие математической логики за последние десятилетия уже показало, что роль теории доказательств этим не ограничивается. В настоящее время идеи теории доказательств не только влияют на развитие математики, но и глубоко проникают в различные ее разделы. Особенно велико ее влияние на развитие алгебры. Так, например, многие конкретные исследования, связанные с доказательством невозможности вывода тех или иных соотношений в различных алгебраических системах, заданных с помощью тождественных или определяющих соотношений, можно рассматривать как фрагменты теории доказательств, развитой для алгебраических систем данного класса. [31]
До середины XIX века алгебра чаще всего определялась как наука о решении алгебраических уравнений, Это определение стало явно несправедливым во второй половине XIX века, когда особенной высоты достигли исследования по теории групп, конечных и непрерывных, по теории полей алгебраических чисел и алгебраических функций, по гиперкомплексным числам. Вершиной алгебры в этот период считается теория Галуа, многие проблемы которой, возникшие в эти годы, надолго будут привлекать внимание исследователей. Из них наиболее ортодоксальные алгебраисты будут в течение десятилетий считать классическую проблематику теории Галуа главной Ф алгебре, и к проблемам этой области неизменно будет приписываться слово знаменитая. Тем не менее в соответствии с общим духом времени в начале XX века начинается период перестройки алгебры на теоретико-множественном и аксиоматическом фундаменте. В 20 - х годах все эти новые области алгебры получают даже наименование современной алгебры. Крупнейшей фигурой в этот период был Давид Гильберт ( 1862 - 1943), нашедший правильные пути органического соединения общих теоретико-множественных концепций и классической математики XIX века. Связи между математиками Московского и Геттингенского университетов в 20 - х и начале 30 - х годов сыграли заметную положительную роль в развитии алгебры и соседних с нею областей науки. [32]