Cтраница 3
Принято считать, что эта функция фрактально с размерностью D. Известно, что она действительно имеет размерность D, если под этим термином понимать клеточную размерность, но, по-видимому, не размерность Хаусдорфа - Безиковича. [31]
Размерность подобия легко поддается определению для различных фракталов, получающихся с помощью различных вариантов построения Кох. Рассмотрим предфрактал Кох, построенный с единичным квадратом в качестве затравки и с образующим элементом, состоящим из N 8 ломаных длиной г 1 / 4, изображенных на рис. 2.9. Эта кривая имеет размерность подобия D - In 8 / ln 1 / 4 3 / 2 и равна размерности Хаусдорфа - Безиковича множества, получающегося после бесконечно большого числа итераций. Заметим, однако, что, поскольку в качестве затравки мы используем единичный квадрат, фигура в целом не выдерживает преобразования подобия. [32]
Существует несколько принципиально разных определений размерности геометрического объекта. Топологическая размерность множества всегда выражается целым числом; это не противоречит интуитивному представлению о том, что кривые одномерны, а поверхности двумерны. Размерность Хаусдорфа лежит в основе фрактальной теории. Размерность Минковского может служить аналогом размерности Хаусдорфа, удобным для использования в прикладных задачах. Эти размерности, как правило, совпадают, но алгоритм определения размерности Минковского намного эффективнее. [33]
При блочном кодировании / порождаемая источником последовательность разделяется на слова равной длины ( блоки), каждое из которых заменяется кодом. Однако требование инъективнооти влечет всегда неотрицательность избыточности. Он изучал и нестационарные источники, для которых роль энтропии играет размерность Хаусдорфа. [34]
Существует несколько принципиально разных определений размерности геометрического объекта. Топологическая размерность множества всегда выражается целым числом; это не противоречит интуитивному представлению о том, что кривые одномерны, а поверхности двумерны. Размерность Хаусдорфа лежит в основе фрактальной теории. Размерность Минковского может служить аналогом размерности Хаусдорфа, удобным для использования в прикладных задачах. Эти размерности, как правило, совпадают, но алгоритм определения размерности Минковского намного эффективнее. [35]
Кроме того, в некоторых случаях размерность типа хаусдорфовой непосредственно входит в выражения для измеряемых физических характеристик. Ричардсон при попытке измерить длину береговой линии Англии, которая сильно изрезана [614], Заменив береговую линию ломаной с длиной звена е, Ричардсон обнаружил, что длина ломаной L, Ne при уменьшении е неограниченно растет. Величина d при этом имеет смысл размерности Хаусдорфа. Другим примером является рассмотренная А. М. Дыхне задача об определении эффективной проводимости объемной анизотропной среды с хаотически расположенными направлениями максимальной и минимальной проводимостей, но так, что в среднем среда изотропна. Наконец, знание размерности часто помогает идентифицировать характер движения в системе и переходы от одного вида движения к другому. [36]
Изложение, которое придерживается глав 1 - 6 и 8 - 9, то есть исключает главу 7, Хаотическая динамика II, и обращается к прил. А только в справочных целях, рекомендуется в качестве элементарного курса. А, в частности, посвященные метрике Хаусдорфа и размерности Хаусдорфа, но только ценой пропуска или ускоренного изучения части предыдущего материала. [37]
Этот пример замечателен тем, что размерность Хаусдор-фа и размерность Минковского компактного множества, которое мы сейчас рассмотрим, не совпадают. Подробные сведения о размерности Хаусдорфа изложены в прил. Такую совокупность шаров называют е-сетъю, или s - покрытием. В примере мы рассматриваем счетное множество, поэтому его размерность Хаусдорфа равна нулю ( упр. [38]