Разрешение - особенность
Cтраница 3
 |
Сложный цикл. а допускающий и б не допускающий преобразования монодромии. [31] |
Сложные циклы могут состоять из одной точки. Сложные циклы часто возникают из особых точек при разрешении особенностей. [32]
Таким образом, если схема Дынкина группы G не имеет кратных связей, то типы G и особенности совпадают. На самом деле в этом случае схема Дынкина группы G совпадает со схемой минимального разрешения соответствующей особенности. Брискорн показал также, что отображение я: ( У, и) - ( Сп, я ( 1)) является универсальной деформацией соответствующей клейновой особенности. [33]
Итак, функция, поднятая наверх, локально оказывается произведением координат в каких-то степенях. Теорема о том, что такое разрешение всегда существует - это частный случай теоремы Хиронаки о разрешении особенностей. [34]
Точнее, в этой теории рассматриваются пересечения некоторых кривых в этом многообразии с некоторым циклом коразмерности один. Впрочем, у самого Ботта рассмотрения велись в группе симплектических преобразований, и лишь по ходу дела ( при разрешении особенностей некоторого псевдомногообразия) привлекались лаг-ранжевы плоскости. Его работа получила широкую известность и оказала влияние ( включая обозначения и терминологию) на те из позднейших работ об индексе, в которых используется н развивается топологический подход Ботта-Эдвардса. [35]
Поэтому если одна пара собственных значений отлична от нуля, то имеется Г dim V различных пар собственных значений. При подходящем выборе Ci гиперкэлерова редукция является неособой; поэтому, проверив, что отображение р биголоморфно вне особой точки в С2 / Г, мы докажем, что оно является разрешением особенности. [36]
Гипотеза Игузы об экспоненциальных суммах. Предположим, что I а mmvi / Ni, где минимум берется по всем t, кроме тех, для которых Ni Vi 1, причем набор пар ( NiVi) образует числовую характеристику некоторого фиксированного разрешения особенности поверхности уровня / - 1 ( 0) над F. R, удовлетворяющее неравенству E ( z, К, /) c ( K) z a для всех z G К. [37]
Чисто топологические соображения, связанные с теоремой существования и единственности, этого не запрещают. Однако это невозможно для аналитических векторных полей и для всех гладких полей, не принадлежащих некоторому исключительному множеству коразмерности бесконечность. Это следует из теорем о разрешении особенностей ( гл. Теорема Пуанкаре - Бендиксона верна также для уравнений на сфере, но не на сфере с ручками ( см. гл. [38]
Во второй основной теореме и ее следствии - соотношении дефектов - выше рассматривались лишь дивизоры, которые представляют собой объединение комплексных многообразий, пересекающихся в общем положении. В основе такого обобщения лежит широко применяемый в алгебраической геометрии метод разрешения особенностей. [39]
Ограничимся дальше рассмотрением проекций из точки р а е Р и попытаемся понять, что происходит с точками, находящимися вблизи центра. Именно это свойство проекции лежит в основе ее приложений к разного типа вопросам о разрешении особенностей. Если в Р лежит некая фигура ( алгебраическое многообразие, векторное поле), имеющая вблизи точки а необычное строение, то, проектируя ее из точки а, мы можем растянуть окрестность этой точки и увидеть, что в ней происходит, в увеличенном масштабе, причем коэффициент увеличения при приближении к а безгранично растет. [40]
Она была сформулирована Бендиксоном в той же самой работе ( 1901), в которой доказана теорема Пуанкаре-Бендиксона. Теорема о разрешении особенностей Бендиксоном была только высказана; он даже не попытался написать ее законченное доказательство. Она была доказана в аналитическом случае Зайденбергом в 1968 г.; в гладком случае - Дюмортье в 1977 г., а прозрачное доказательство было придумано Ван ден Эссеном и опубликовано Маттеи и Муссю в 1980 г. Так что когда Дюлак пользовался этой теоремой, ему пришлось добавить много соображений, похожих на доказательство, но все равно доказательства он не дал. [41]
Примерно такая же проблема и привела к созданию мотивного интегрирования. А именно, проблема такова: что-то формулируется в терминах разрешения, а нужно доказать, что это не зависит от разрешения. Конкретно речь шла о том, что зеркальная симметрия устанавливает равенство между числами Ходжа-Делиня hp q для многообразий, но эти многообразия на самом деле часто имеют особенности. В зеркальной симметрии для этих многообразий предполагалось строить разрешения особенностей ( на самом деле не произвольное разрешение, а разрешение, которое уважает канонический класс, но это неважно) и брать числа Ходжа-Делиня уже для этого разрешения. Гипотеза зеркальной симметрии предсказывала, что для соответствующих пар эти числа Ходжа-Делиня связаны зеркальной симметрией. Изначальная проблема, которая здесь возникла, состояла в том, что числа hp q определяются разрешением, поэтому даже сам факт, что они от разрешения не зависят, был совершенно не очевиден и было неясно, как его доказывать. Идея состояла в том, что нужно выразить инварианты, которые зависят от разрешения, через что-то, не зависящее от разрешения. В качестве того, что не зависит от разрешения, было предложено следующее. [42]
Страницы: 1 2 3