Cтраница 3
Отметим еще работы М. И. Матийчука [71-76], в которых строятся матрицы Грина задач Дирихле и задач с косой производной для параболических уравнений и систем второго порядка, а также задач для общих параболических систем с граничными операторами равного порядка в случае, когда коэффициенты этих задач принадлежат пространствам Дини и могут быть сингулярными. Построенные матрицы Грина используются для установления корректной разрешимости рассматриваемых задач в пространствах Дини. [31]
В § 3.6 мы приводим аналогичные теоремы о корректной разрешимости в W f смешанных задач (3.2) для второго класса уравнений вида (3.1), а в § 3.7 - для некоторых неклассических систем уравнений. В § 3.8 мы рассматриваем теоремы о корректной разрешимости в классе И7 краевых задач в полупространстве для квазп-идлпптических уравнений. [32]
Если Y ( А) 0, уравнение (1.1) называется корректно разрешимым. Оно корректно разрешимо тогда и только тогда, когда оператор А имеет на R ( А) ограниченный обратный оператор, и, таким образом, из корректной разрешимости уравнения (1.1) следует его однозначная разрешимость. [33]
Эта проблема для случая общих граничных задач возникла в 60 - х годах в связи со следующими обстоятельствами. Во-первых, в середине 60 - х годов была создана общая теория параболических граничных задач, основ - ным результатом которой является установление эквивалентности алгебраических условий параболичности задачи и ее корректной разрешимости в широких кл; с-сах гладких функций. Bo-вторых, было в основном завершено детальное описание оператора в случае задачи Коши для параболических по Петровскому систем уравнений, основанное на всестороннем исследовании фундаментальных матриц решений задачи Коши и которое нашло важные применения. [34]
Из теоремы 3.1 вытекает, что R ( Л22) G2, а из следствия 3.3 - что Z ( 22) 0 - Применяя теорему Банаха 1.4.1, убеждаемся, что Л22 обладает требуемым свойством. Аналогично доказывается, что из корректной разрешимости операторов Л и Л22 следует корректная разрешимость оператора Лп. Если же известно, что Лп и Л22 корректно разрешимы, то непосредственные вычисления показывают. [35]
Из теоремы 3.1 вытекает, что R ( Л22) G2, а из следствия 3.3 - что Z ( 22) 0 - Применяя теорему Банаха 1.4.1, убеждаемся, что Л22 обладает требуемым свойством. Аналогично доказывается, что из корректной разрешимости операторов Л и Л22 следует корректная разрешимость оператора Лп. Если же известно, что Лп и Л22 корректно разрешимы, то непосредственные вычисления показывают. [36]
Ранее предполагалось, что коэффициенты граничной задачи и граница области достаточно гладкие, причем коэффициенты ограничены. Нарушение этих условий, то есть наличие вырождения, приводит к появлению у решений особенностей в окрестности тех точек, где имеется вырождение. Типы вырождения могут быть самыми разнообразными. К ним относятся, в частности, случаи, когда коэффициенты уравнений растут при удалении точки на бесконечность либо при ее стремлении к границе рассматриваемой области. Отметим лишь, что представление о современном состоянии теории параболических граничных задач в областях с негладкой границей можно получить из обзорной статьи [27] и что в работах [28-30] установлена корректная разрешимость, построены и исследованы матрицы Грина общих граничных задач в неограниченных областях для некоторых параболических систем с растущими при jc - оо коэффициентами. [37]