Cтраница 3
Если один из сомножителей - невырожденная матрица, то ранг произведения равен рангу второго сомножителя. [31]
Следовательно, все собственные числа матрицы А-А равны единице или нулю для любого teT и след t r ( A-A) гапЫ согласно лемме 1.1.2. По определению, след матрицы является суммой ее диагональных элементов, следовательно, по исходному предположению он непрерывен. Но это невозможно, так как rank А является целым числом и не равен константе по условию. Не равен константе на Г и ранг произведения А А. [32]
Именно параллельное рассмотрение указанных интерпретаций в наибольшей мере способствует эффективному построению линейной алгебры. Например, то, что размерность образа линейного оператора не превосходит размерности его области определения, отнюдь не очевидно геометрически, но очевидно алгебраически - ранг матрицы не превосходит количества ее строк. С другой стороны, то, что ранг произведения операторов не превосходит рангов сомножителей, почти очевидно геометрически ( вспомним рисунок), но далеко не очевидно алгебраически. Идея параллельного рассмотрения геометрической и алгебраической интерпретации вектора как раз и лежит в основе понятия тензора. [33]
Естественно, мы предполагаем, что число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, иначе их нельзя было бы перемножить. Пусть А есть / яхл-матрица, а В есть л Хр-матрица. Область значений оператора АВ в силу самого его определения содержится в области значений оператора А. Поскольку согласно 4.61 размерность области значений любого оператора равна рангу соответствующей матрицы, мы получаем, что ранг произведения двух матриц не превосходит ранга первого множителя. В рангу В, что и требуется. [34]
Естественно, мы предполагаем, что число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, иначе их нельзя было бы перемножить. Пусть А есть / яхл-матрица, а В есть лхр-матрица. Произведению АВ матриц А и В отвечает линейный оператор АВ: Z - - Y. Область значений оператора АВ в силу самого его определения содержится в области значений оператора А. Поскольку согласно 4.61 размерность области значений любого оператора равна рангу соответствующей матрицы, мы получаем, что ранг произведения двух матриц не превосходит ранга первого множителя. В рангу В, что и требуется. [35]