Расположение - интегральная кривая
Cтраница 2
Среди многочисленных методов, изобретенных Пуанкаре для исследования задачи трех тел, особое место занимает метод интегральных инвариантов по тем возможностям, которые он представляет для решения вопросов, связанных с расположением интегральных кривых и устойчивостью движения механических систем. Одновременно метод интегральных инвариантов позволяет объединить различные ветви аналитической механики, давая большей частью простое доказательство теоремам и указывая внутреннюю связь между ними. [16]
Дать аналитические критерии, которые повволили бы, исходя ив функций Х ( х у) и Y ( х, у), конечным или счетным числом операций определить, какой тип расположения интегральных кривых имеет место для данного уравнения, причем при решении этой задачи, в некоторых, случаях, мы будем определять тип расположения интегральных кривых с точностью до инвариантов линейного преобразования. [17]
Таким образом, система ( 8), определяющая поле направлений, если это поле дополнить непрерывным образом во всех тех точках неопределенности, где это возможно, и получающая тогда вид ( 12), может дать расположение интегральных кривых, не тождественное с системой ( 1); в системе ( 1) могут оказаться лишние особые точки. [18]
Излагая метод Важевского, будем следовать его статьям [2, 4], отказавшись, однако, в отличие от них, сначала от предположения, что рассматриваемая динамическая система описана некоторым числом дифференциальных уравнений первого порядка, а затем от предположения о единственности расположения интегральных кривых в строгом смысле. [19]
Дать аналитические критерии, которые повволили бы, исходя ив функций Х ( х у) и Y ( х, у), конечным или счетным числом операций определить, какой тип расположения интегральных кривых имеет место для данного уравнения, причем при решении этой задачи, в некоторых, случаях, мы будем определять тип расположения интегральных кривых с точностью до инвариантов линейного преобразования. [20]
Бейдер из анализа карт распределения электронной плотности сделал вывод, что точкам расположения ядер отвечают рассмотренные выше точки заострения ( каспы) функции р, а в остальном эта функция ведет себя так, что либо появляются седловые точки где-то в областях между ядрами, либо, если по некоторому пути и достигается равенство dp / dt 0, где t - координата, ортогональная s, то при этом остается dp / ds 0, что не нарушает общей картины расположения интегральных кривых. [21]
Такое расположение интегральных кривых называется узлом ( черт. [22]
О - ( T ] ifa 0) имеют вид, указанный а рис. 71, а. Для построения схемы расположения интегральных кривых данного уравнения в окрестности особой точки к 0, у - ( Кнайдем неособенное линейное преобразование, приводящее это уравнение ( и соответствующую ему автономную систему) к каноническому виду. [23]
Вся окрестность этой особой точки заполнена пересекающимися интегральными кривыми, каждая из которых примыкает к особой точке с определенным направлением касательной, причем это направление, за исключением полуосей оси Оу, у всех интегральных кривых одно и то же. Особая точка с таким расположением интегральных кривых называется обыкновенным узлом. [24]
В § 9 рассматриваются уравнения первого порядка. Формулируются некоторые общие теоремы о расположении интегральных кривых таких уравнений. Большая часть параграфа посвящена изучению уравнения с полиномиальной правой частью. Для такого уравнения весьма подробно изучается вопрос о возможном числе периодических решений. Дается ряд условий, достаточных для того, чтобы число периодических решений не превышало степени полинома, стоящего в правой части. [25]
Здесь мы имеем один из тех сомнительных случаев, когда первое приближение имеет два нулевых характеристических числа. Несмотря на то, что здесь только два уравнения, топологическая картина расположения интегральных кривых в окрестности начала координат может быть весьма разнообразной. Именно этим и объясняется большое число различных случаев, которые появляются у Ляпунова при полном решении вопроса устойчивости нулевого решения этой системы. Всего здесь имеется 10 различных случаев. И в наиболее трудном случае неасимптотииеской устойчивости, когда вокруг начала координат располагаются периодические решения ( неклассический центр, открытый Ляпуновым), Ляпунов. [26]
В предыдущем параграфе было показано, как конечным числом операций можнонайти исключительные направления и определить, какого типа нормальными областями они могут быть окружены. Для дальнейшего выяснения поведения интегральных кривых необходимо уметь конечным числом операций различать между собой возможные случаи расположения интегральных кривых дяя областей второго и третьего типа. Эти две проблемы различения оказываются имеющими неодинаковые решения. Если для нормальных областей третьего типа возможен, как мы покажем для аналитического случая, только один способ расположения интегральных кривых, то для областей второго типа на расположение интегральных кривых, как показал Фромм ер, могут влиять члены сколь угодно высокого порядка, и для решения проблемы различения приходится производить для каждой данной задачи хотя и конечное число операций, однако, число неограниченное, если рассматривать весь класс аналитических правых частей. [27]
Собственные значения AI и А2 действительны и различны. Изменение масштаба, обусловленное преобразованием координат, в рассматриваемой задаче не имеет значения, так как нас интересует исключительно качественная картина расположения интегральных кривых. [28]
В качестве предельного случая в это семейство входит и ось ординат. Особая точка дифференциального уравнения с таким расположением интегральных кривых называется узлом. [29]
 |
Интегральные кривые уравнения d. / dr ] - ( 2 / 3 а - ( 2 / 3 т ].. Ц3 на проективной плоскости. [30] |
Страницы: 1 2 3