Cтраница 3
Будучи выполненной, масштабная временная подгонка должна оставить форму вероятностного распределения временного ряда без изменения. Такой временной ряд называется масштабно-инвариантным. Подобное описание применимо, если се 2 и распределение является нормальным, потому что нормальное распределение есть особый случай в семействе фрактальных распределений. Однако при а, не равном 2, характеристики распределения изменяются. [31]
В данном разделе кратко излагается работа Маккаллока. Она соответствует фрактальной гипотезе рынка и показывает практическое применение фрактальной статистики. Эта работа является большой заслугой Маккаллока, поскольку она была написана до того, как появились общепринятые доказательства, что рынки описывались фрактальными распределениями. [32]
Очевидная проблема связана с дисперсией. В среде среднего / дисперсии дисперсия является мерой риска акции и портфеля. Фрактальные распределения не имеют дисперсии для оптимизации. Однако есть член рассеяния с, который также может использоваться для измерения риска. [33]
В этой главе мы рассмотрим различие между фрактальным и нормальным выроятностными распределениями. В частности, обобщим математику, лежащую в их основе, и покажем что нормальная форма является частным случаем фрактальных распределений. С точки зрения математического аппарата данная глава, возможно, не покажется интересной для всех читателей. Однако, ввиду того что фрактальные распределения приобретают большое значение в современных рынках капитала, как минимум три последних раздела и заключение главы рекомендуем внимательно изучить. [34]
Необходимо также пояснить, каким образом исчезновение третьего измерения в распространении материи на поверхности конденсированных сред обусловливает концентрационную разницу в шесть порядков. Здесь решающую роль играет структурный фактор. С позиций структуры идеальной плоской поверхности объемного кристалла или грани его ячейки данный факт объяснить невозможно. Однако проблема снимается, если принять фрактальное распределение вещества по толщине поверхностного переходного 3 - 2 слоя. Известно, что структура фракталов тем более разрыхленная, чем меньшее значение фрактальной размерности она имеет. При этом имеет смысл учитывать факт, что некоторые фракталы имеют тенденцию к снижению плотности распределения вещества по мере удаления из цетра фрактального объекта к периферии. Является интересным, что наши доводы имеют удивительное сходство с выводом [2] о том, что средняя плотность вещества во фрактальном кластере ограничена снизу значением, которое на 4 - 6 порядков ниже плотности материала в конденсированной фазе. [35]
На основании уравнения (14.11) мы можем видеть, что, если два распределения устойчивы, обладая характеристическим показателем а, их сумма также устойчива с характеристическим показателем а. Это применяется в теории портфеля. Если ценные бумаги в портфеле устойчивы, имея одинаковое значение альфы, сам портфель также устойчив, имея то же самое значение альфы. Прежде чем мы исследуем практичность этих адаптации, мы сначала должны рассмотреть характерные свойства устойчивых, фрактальных распределений. [36]
Если бы ряды были получены из гауссовского случайного блуждания, то чем больше наблюдений мы бы имели, тем больше последовательное стандартное отклонение стремилось бы к стандартному отклонению совокупности. Аналогично, если среднее значение устойчиво и конечно, выборочное среднее будет, в конечном счете, сходиться к математическому ожиданию. Для файла данных индекса Доу-Джонса для акций промышленных компаний мы нашли мало доказательств конвергенции приблизительно после 100 лет данных. Это подразумевает, что в более короткие периоды процесс намного более похож на бесконечную дисперсию, чем на распределение конечной дисперсии. Последовательное среднее сходилось более быстро, и выглядело более устойчивым. Фрактальное распределение, конечно, хорошо бы описывалось бесконечной или неустойчивой дисперсией, а также конечным и устойчивым средним. [37]
Часть 4 рассматривает деятельность рынка с точки зрения стохастических процессов; по существу, в ней разбирается фрактальный шум. В Главе 13, на основе использования R / S-анализа, различные цветные шумы анализируются и сравниваются с анализом рынка. Полученные результаты удивительно похожи. Кроме того, дается значимое объяснение поведению волатильности. Обсуждается влияние фрактальных распределений на модели рынка. В Главе 15 показано влияние фрактальной статистики на проблему выбора портфеля и опционное ценообразование. Рассматриваются методы адаптирования таких моделей к фрактальным распределениям. [38]
Форма этих фрактальных распределений в сравнении с нормальным распределением характеризуется высоким пиком и толстыми хвостами. Толстые хвосты имеют место, поскольку крупное событие происходит в результате процесса усиления. Тот же самый процесс вызывает бесконечную дисперсию. Хвосты никогда не стремятся к асимптоте у 0 0, даже в бесконечности. Кроме того, когда происходят большие события, они имеют тенденцию быть резкими и прерывистыми. Таким образом, фрактальные распределения имеют еще одну фрактальную характеристику: прерывистость. [39]
Устойчивое распределение Парето ( устойчивый паретиан) характеризует тенденция к трендам и циклам, внезапным и прерывистым изменениям; оно также может быть несимметричным. Однако дисперсия этих распределений бесконечна, или неопределенна. Кутнер ( 1964Ь) и Шиллер ( Shiller, 1989) признали концепцию бесконечной дисперсии неприемлемой, выдвинув требование переформулировать существующую теорию в терминах нормального распределения, чтобы не стать перед лицом возможности серьезного подрыва результатов сорокалетних исследований экономических рынков и рынков капитала. Кутнер ( 1964а), критикуя статью Мандельброта, утверждал, что мы не можем быть уверены в том, насколько измерения хвостов являются доказательствами того что распределение не представляет собой простого лептоэксцессиого гауссовского распределения. Кутнер напомнил, что если Мандельброт был прав, то почти все наши статистические инструменты атрофированы. Он чувствовал, что требуется больше оснований для того, чтобы отправить сотни работ в макулатуру. Устойчивые распределения Парето теперь могут быть названы фрактальными распределениями; мы будем подробно рассматривать их в гл. [40]
Почему теперь мы называем эти распределения не только устойчивыми, как называл их Леви, но еще и фрактальными. Масштабный параметр с является ответом. Если характеристический показатель а и параметр асимметрии ( 3 остаются теми же самыми, изменение с просто приводит к изменению масштаба распределения. Это свойство делает устойчивые распределения самоподобными при изменениях в масштабе. Как только мы вносим поправку на масштабный параметр с, вероятности остаются теми же самыми. Эта самоподобная статистическая структура является причиной, по которой мы теперь говорим об устойчивых распределениях Леви как о фрактальных распределениях. Характеристический показатель а, который может принимать дробные значения между 1 и 2, является фрактальной размерностью пространства вероятностей. Подобно всем фрактальным размерностям, она представляет собой масштабное свойство процесса. [41]
Часть 4 рассматривает деятельность рынка с точки зрения стохастических процессов; по существу, в ней разбирается фрактальный шум. В Главе 13, на основе использования R / S-анализа, различные цветные шумы анализируются и сравниваются с анализом рынка. Полученные результаты удивительно похожи. Кроме того, дается значимое объяснение поведению волатильности. Обсуждается влияние фрактальных распределений на модели рынка. В Главе 15 показано влияние фрактальной статистики на проблему выбора портфеля и опционное ценообразование. Рассматриваются методы адаптирования таких моделей к фрактальным распределениям. [42]
В нормальном распределении большие изменения случаются по причине большого количества малых изменений. Изменение цен полагается непрерывным. Это предположение о непрерывности ценообразования делает страхование портфеля возможной практической стратегией денежного управления. Идея состояла в том, что, используя модель расчета цен опционов Блэка-Шоулса ( или какую-то ее разновидность), инвестор мог искусственно повторять выбор, непрерывно балансируя между рисковыми активами и наличными деньгами. Этот метод правдоподобен постольку, поскольку ценообразование остается непрерывным, или по крайней мере близко к этому. Однако в случае фрактального распределения большие перемены происходят как следствия малого количества больших изменений. Большие изменения цен могут быть разрывными и внезапными. Фрактальное распределение на фондовом рынке могло бы объяснить, почему октябрьские события 1987, или 1978, или 1929 годов вообще случились. На этих рынках недостаток ликвидности стал причиной внезапного и прерывистого ценообразования, как это и предсказывает фрактальная модель. [43]
В нормальном распределении большие изменения случаются по причине большого количества малых изменений. Изменение цен полагается непрерывным. Это предположение о непрерывности ценообразования делает страхование портфеля возможной практической стратегией денежного управления. Идея состояла в том, что, используя модель расчета цен опционов Блэка-Шоулса ( или какую-то ее разновидность), инвестор мог искусственно повторять выбор, непрерывно балансируя между рисковыми активами и наличными деньгами. Этот метод правдоподобен постольку, поскольку ценообразование остается непрерывным, или по крайней мере близко к этому. Однако в случае фрактального распределения большие перемены происходят как следствия малого количества больших изменений. Большие изменения цен могут быть разрывными и внезапными. Фрактальное распределение на фондовом рынке могло бы объяснить, почему октябрьские события 1987, или 1978, или 1929 годов вообще случились. На этих рынках недостаток ликвидности стал причиной внезапного и прерывистого ценообразования, как это и предсказывает фрактальная модель. [44]