Cтраница 1
Сепарабельные расширения образуют отмеченный класс расширений. [1]
Каждое конечное сепарабельное расширение является простым. [2]
Для конечно порожденного сепарабельного расширения К поля k сепарирующий базис трансцендентности может быть выбран из любого заданного множества образующих. [3]
Доказать, что сепарабельное расширение полей является простым. [4]
Действительно, для простых сепарабельных расширений это утверждение уже было доказано в § 44, а, как мы теперь знаем, всякое конечное сепарабельное расширение является простым. [5]
Доказать, что если В является сепарабельным расширением С, a С - сепарабельным расширением А, то В - сепарабельное расширение А. [6]
Используя ( а), показать, что если В является сепарабельным расширением А, то В является сепарабельным расширением С. [7]
В этом параграфе мы кратко познакомимся с одним понятием, обобщающим понятие сепарабельного расширения в теории полей. Если В - некоторая - алгебра, a A - ее подалгебра, то В можно рассматривать как В - Л - бимодуль и как Л - В-бимодуль. Следовательно, по лемме 9.5 а тензорное произведение В 8л В является В-бимодулем, или, что эквивалентно, правым Ве-моду-лем, где, как обычно, Ве В В. [8]
Нетрудно показать, если В - сепарабельная - алгебра, то В является сепарабельным расширением всех своих подалгебр. Более общо, если В - сепарабельное расширение Л, а С - подалгебра в В, содержащая Л, то В является сепарабельным расширением С, Кроме того, сепарабельные расширения обладают свойством транзитивности: если С - сепарабельное расширение А, а В - сепарабельное расширение С, то В - сепарабельное расширение А. Доказательство этих фактов намечено в упр. Из леммы 9.5 Ь вытекает, что любая алгебра является своим сепарабельным расширением. [9]
Доказать, что если В является сепарабельным расширением С, a С - сепарабельным расширением А, то В - сепарабельное расширение А. [10]
Доказать для регулярных расширений результаты, аналогичные тем, коюрые были доказаны выше для сепарабельных расширений. [11]
Из сказанного, в частности, следует, что единственной / С-деривацией в 2 алгебраического сепарабельного расширения Е поля К является нулевая деривация. Справедливо и обратное утверждение, согласно которому указанное свойство характерно для сепарабельных, алгебраических расширений Е / К, если Е порождается над К конечным числом элементов. [12]
Напротив, основная теорема Галуа, которой посвящен следующий параграф, выполняется только для конечных сепарабельных расширений. [13]
Читатель может опустить эти замечания, если он интересуется только полями характеристики 0 или сепарабельными расширениями. [14]
Используя ( а), показать, что если В является сепарабельным расширением А, то В является сепарабельным расширением С. [15]