Cтраница 3
Нетрудно показать, если В - сепарабельная - алгебра, то В является сепарабельным расширением всех своих подалгебр. Более общо, если В - сепарабельное расширение Л, а С - подалгебра в В, содержащая Л, то В является сепарабельным расширением С, Кроме того, сепарабельные расширения обладают свойством транзитивности: если С - сепарабельное расширение А, а В - сепарабельное расширение С, то В - сепарабельное расширение А. Доказательство этих фактов намечено в упр. Из леммы 9.5 Ь вытекает, что любая алгебра является своим сепарабельным расширением. [31]
Пусть А - артинова справа R-алгебра. Предположим, что В есть R-алгебра, содержащая А в качестве подалгебры и являющаяся конечно порожденным правым А - модулем. Тогда если В является сепарабельным расширением А, та из того, что А имеет конечный тип, вытекает, что В имеет конечный тип. [32]
Из всех этих теорем рке видно то большое значение, которое имеет группа автоморфизмов при изучении свойств поля Приведенные теоремы лишь для удобства формулировались для конечных расширений; с помощью трансфинитной индукции они без труда переносятся и на бесконечные расширения. К содержит а, где р - характеристика. Напротив, основная теорема Галуа, которой посвящен следующий параграф, выполняется только для конечных сепарабельных расширений. [33]
Нетрудно показать, если В - сепарабельная - алгебра, то В является сепарабельным расширением всех своих подалгебр. Более общо, если В - сепарабельное расширение Л, а С - подалгебра в В, содержащая Л, то В является сепарабельным расширением С, Кроме того, сепарабельные расширения обладают свойством транзитивности: если С - сепарабельное расширение А, а В - сепарабельное расширение С, то В - сепарабельное расширение А. Доказательство этих фактов намечено в упр. Из леммы 9.5 Ь вытекает, что любая алгебра является своим сепарабельным расширением. [34]