Cтраница 2
Доказать, что если В является сепарабельным расширением С, a С - сепарабельным расширением А, то В - сепарабельное расширение А. [16]
Из леммы 10.7 Ь вытекает, что если В - некоторое поле, а Л - его подполе, то В является сепарабельным расширением Л в смысле данного определения в том и только том случае, если В / Л является конечным сепарабельным расширением в смысле теории полей. [17]
Действительно, для простых сепарабельных расширений это утверждение уже было доказано в § 44, а, как мы теперь знаем, всякое конечное сепарабельное расширение является простым. [18]
Нашей целью в этом параграфе является обозрение всех продолжений на поле К нормирования и поля F в случае, когда K / F - конечное сепарабельное расширение. [19]
Всякое главное однородное пространство, имеющее рациональную точку VQ над основным полем, изоморфно А ( изоморфизм определяется отображением а - ato), и любое главное однородное пространство имеет точку в некотором конечном сепарабельном расширении основного поля. [20]
Из леммы 10.7 Ь вытекает, что если В - некоторое поле, а Л - его подполе, то В является сепарабельным расширением Л в смысле данного определения в том и только том случае, если В / Л является конечным сепарабельным расширением в смысле теории полей. [21]
Это обобщает обычное понятие сепарабельного расширения, если степень [ Е: F ] конечна. [22]
Нетрудно показать, если В - сепарабельная - алгебра, то В является сепарабельным расширением всех своих подалгебр. Более общо, если В - сепарабельное расширение Л, а С - подалгебра в В, содержащая Л, то В является сепарабельным расширением С, Кроме того, сепарабельные расширения обладают свойством транзитивности: если С - сепарабельное расширение А, а В - сепарабельное расширение С, то В - сепарабельное расширение А. Доказательство этих фактов намечено в упр. Из леммы 9.5 Ь вытекает, что любая алгебра является своим сепарабельным расширением. [23]
Пусть v - нетривиальное нормирование поля F, такое, что F локально компактно. Предположим, что K / F - конечное сепарабельное расширение. [24]
Пусть В и С - простые сепарабельные - F-алгебры. Заметим, что В и С конечномерны и Z ( B) / / 7, Z ( C) / F - сепарабельные расширения в силу результатов гл. [25]
Нетрудно показать, если В - сепарабельная - алгебра, то В является сепарабельным расширением всех своих подалгебр. Более общо, если В - сепарабельное расширение Л, а С - подалгебра в В, содержащая Л, то В является сепарабельным расширением С, Кроме того, сепарабельные расширения обладают свойством транзитивности: если С - сепарабельное расширение А, а В - сепарабельное расширение С, то В - сепарабельное расширение А. Доказательство этих фактов намечено в упр. Из леммы 9.5 Ь вытекает, что любая алгебра является своим сепарабельным расширением. [26]
Нетрудно показать, если В - сепарабельная - алгебра, то В является сепарабельным расширением всех своих подалгебр. Более общо, если В - сепарабельное расширение Л, а С - подалгебра в В, содержащая Л, то В является сепарабельным расширением С, Кроме того, сепарабельные расширения обладают свойством транзитивности: если С - сепарабельное расширение А, а В - сепарабельное расширение С, то В - сепарабельное расширение А. Доказательство этих фактов намечено в упр. Из леммы 9.5 Ь вытекает, что любая алгебра является своим сепарабельным расширением. [27]
Нетрудно показать, если В - сепарабельная - алгебра, то В является сепарабельным расширением всех своих подалгебр. Более общо, если В - сепарабельное расширение Л, а С - подалгебра в В, содержащая Л, то В является сепарабельным расширением С, Кроме того, сепарабельные расширения обладают свойством транзитивности: если С - сепарабельное расширение А, а В - сепарабельное расширение С, то В - сепарабельное расширение А. Доказательство этих фактов намечено в упр. Из леммы 9.5 Ь вытекает, что любая алгебра является своим сепарабельным расширением. [28]
Нетрудно показать, если В - сепарабельная - алгебра, то В является сепарабельным расширением всех своих подалгебр. Более общо, если В - сепарабельное расширение Л, а С - подалгебра в В, содержащая Л, то В является сепарабельным расширением С, Кроме того, сепарабельные расширения обладают свойством транзитивности: если С - сепарабельное расширение А, а В - сепарабельное расширение С, то В - сепарабельное расширение А. Доказательство этих фактов намечено в упр. Из леммы 9.5 Ь вытекает, что любая алгебра является своим сепарабельным расширением. [29]
К: & ] конечна, то для любого рР / С аналогично определяются Njt / p) TrK / i ( P) - Требование невырожденности формы BK / k ( u, v) - IrK / k ( uv) является одним из определений сепарабельного расширения. [30]