Центральное расширение

Cтраница 3

Если Sp - собственная подгруппа группы К, то по индукции группа G содержит подгруппу порядка [ 0: 5 ], изоморфную фактор-группе 0 / 5, и, таким образом, подгруппу, изоморфную группе GjK, порядка п, что доказывает теорему в этом случае. Следовательно, осталось рассмотреть случай, когда К 5, Если группа 5 абелева, то О - ее центральное расширение, и в силу следствия из теоремы 15.2.1 О - расщепляемое расширение группы Sp, и теорема доказана. Если группа Sp не абелева, то ее центр Z является собственной характеристической подгруппой, которая, следовательно, инвариантна в группе О. Но Z - инвариантная подгруппа индекса п в подгруппе U группы О, следовательно ( опять по индукции) подгруппа U содержит подгруппу порядка п, и теорема полиостью доказана. [31]

Это означает, что отображение и - х из Я в группу автоморфизмов A. При этом условии N X Я называется центральным расширением группы N посредством Я. Важный частный случай центрального расширения получается, когда [, v ] e для всех и, v e Я. [32]

Q ( A), к-рое изоморфно матричной алгебре Dm над телом D, конечномерным над своим центром Z. Кольцо Q ( A) является центральным расширением алгебры А в том смысле, что Q ( A) AZ. Идеалы тождеств алгебр А и Q ( А) совпадают. [33]

Централизаторы инволюций в некоторых спорадических группах. [34]

Кроме случая L3 ( 4) для указанного расширения имеется лишь одна возможность. Группа L3 ( 4) имеет два неизоморфных совершенных центральных расширения с помощью Z4, из которых только одно встречается в группе О Нэна. [35]

Далее, теорема 4.9 показывает, что если одна из групп Н и Я2 нециклическая, то имеет место один из случаев ( b) - ( d) теоремы. В случае ( Ь) группа G изоморфна / / 1 X 2, потому что порядки групп Н1 и Я2 взаимно просты. Если группы HI и Я2 циклические, то и группа Я будет циклической по той же теореме 4.9. Так как G представляет собой центральное расширение группы 22 с помощью Я, то G - абелева группа. Мы заключаем, что если группы Н и Я2 циклические, то и G - циклическая группа. Тем самым теорема доказана для групп G четного порядка. Если порядок группы G нечетен, то она изоморфна Я. Тогда Н и HZ тоже имеют нечетный порядок и потому являются циклическими группами. Поэтому теорема 4.9 показывает, что группа Я, а следовательно, и G циклические. [36]

Страницы: 1 2 3