Cтраница 3
Конечно, можно привести и другие причины того, что на первых порах МКЭ развивался гораздо быстрее, чем МГЭ, - разреженность матриц, их симметричность, - но они не имели такого влияния, как названная выше причина, суть которой можно выразить формулой: Пользователь всегда прав. Подтверждением этому служит не только очевидная важность в любом деле предварительной психологической и профессиональной подготовки, но и косвенные свидетельства. Так, представляется закономерным, что специалисты по гидромеханике, не испытавшие активного воздействия идей строительной механики, занялись систематической численной реализацией метода граничных элементов ( в частности, в форме метода дискретных вихрей, подробно описанного в [ 411) несколько раньше, чем специалисты в области деформируемого твердого тела, и МКЭ не имел в гидромеханике столь значительного преимущества по сравнению с МГЭ, как это было, например, в теории упругости. [31]
Сопряженные направления в точке представляют собой искомые пути движения при минимизации целевой функции. Для представленных в этом подразделе методов сопряженных направлений требуется определение только первых производных. Однако благодаря использованию накопленной информации о предыдущих итерациях скорость сходимости метода увеличивается при прибли жении к минимуму. Вообще говоря, в процессе численной реализации методов осуществляется приближенное построение матрицы вторых производных. Все методы сопряженных направлений основаны на идее, заключающейся в том, что если метод хорошо работает в задаче минимизации положительно определенной квадратичной формы, то он должен хорошо работать и для любой гладкой целевой функции. [32]
Эта книга посвящена перспективному методу численного решения задач механики сплошных сред - методу граничных элементов ( МГЭ), называемому также методом граничных интегральных уравнений. Он быстро завоевывает популярность, превосходя по возможностям метод конечных элементов, и становится главным средством решения задач на ЭВМ благодаря двум его решающим преимуществам - сокращению на единицу геометрической размерности задачи ( и соответствующему снижению затрат на подготовку информации, память, время и стоимость вычислений) и легкости исследования бесконечных областей. Кроме того, МГЭ позволяет естественным образом отразить достаточно сложные условия взаимодействия на соприкасающихся границах тел. Все это определило взрыв исследований по численной реализации метода и быстрый рост интереса к нему специалистов-прикладников, о чем свидетельствует, с одной стороны, обилие журнальных публикаций, а с другой - мгновенная распродажа переводов книг [ 1 - 31, посвященных этому методу. [33]
Другое перспективное направление, частично связанное с первым, - разработка методов статистического численного моделирования применительно к объектам, рассчитываемым по схемам, которые максимально приближены к реальности. Размерности таких расчетных схем весьма велики, до тысячи и более степеней свободы, а необходимость учета процессов, протекающих во времени, многократно увеличивает как сложность алгоритмов, так и требования к техническим характеристикам ЭВМ. Для того чтобы сократить затраты машинного времени с минимальными потерями по достоверности результатов, применяют специальные приемы математической статистики, в частности, генерирование наиболее значительных выборок и обработку результатов методами взвешенного оценивания. Эти приемы уже сейчас применяют за рубежом, в частности, при численной реализации методов типа FORM и SORM. Однако для более сложных моделей теории надежности, учитывающих фактор времени, эти методы непригодны. Попытки их обобщения путем формирования направленных выборок применимы лишь для некоторых моделей кумулятивного типа. Предстоит еще большая работа, требующая соединения усилий специалистов в области теории надежности, строительной механики, математической статистики и вычислительной математики. [34]
Ряд постановок контактных задач с проскальзыванием и сцеплением касается качения тела по деформируемому основанию. В работах [16,17,39] подобное взаимодействие исследуется в квазистатическом приближении. Для этого используется вариационная постановка задачи, которая сводится к минимизации определенного функционала, зависящего от контактных напряжений, при нелинейных ограничениях в виде неравенств. Данная постановка позволяет определить расположение участков проскальзывания и сцепления, а также доказать теоремы существования и единственности решения. При численной реализации метода исходная вариационная задача заменяется конечномерной задачей математического программирования. [35]
Причины задержки в развитии метода граничных элементов интересны и поучительны. Казалось бы, теоретическая оснащенность метода была столь велика, что оставалось немедленно переложить его на язык вычислительных машин и начать массовое производство расчетов. Однако, как это ни покажется парадоксальным, именно очень высокий математический уровень работ по ГИУ не способствовал росту его популярности. J, работы по теории ГИУ написаны на строгой математической основе, которая не вполне знакома большинству ученых прикладников. Многим инженерам, соприкасающимся с численной реализацией методов решения прикладных задач, эти работы вовсе недоступны. Но ведь именно инженеры и ученые-прикладники, а не математики-теоретики сразу же оккупировали вычислительные машины с целью получить на них ответы на практические вопросы. Большинство из них были прекрасно знакомы с методами сопротивления материалов и строительной механики, в том числе и с матричными методами. Поэтому метод конечных элементов, возникший как переложение для ЭВМ матричных методов, использовавшихся при расчетах стержневых и балочных систем, органично, быстро и легко вошел в практику расчетов. Его первоочередное развитие и популярность были предопределены профессиональной и психологической подготовкой потребителей. [36]