Cтраница 3
Случай автономных уравнений рассматривается в этой главе отдельно по нескольким причинам. Во-первых, в этой постановке довольно просто получаются сильные результаты. Во-вторых, существенно используется свойство инвариантности предельных множеств - для неавтономных систем это свойство может быть сохранено только частично и за счет дополнительных предположений. И наконец, для автономных уравнений существуют очень хорошие и важные иллюстрирующие примеры, в то время как для неавтономных систем это не совсем так. Правда, многие значительные теоретические результаты, касающиеся неавтономных систем, являются более недавними. [31]
Основной теоремой, которая позволит мам получить самый сильный результат о группах, является теорема 2.4.1. Теоретико-структурные теоремы при этом опираются на модулярный закон, и это проявляется в алгебрах различными способами. Таким образом, при различных предположениях относительно алгебр из одной н той же теоремы о структурах получаются различные теоремы. [32]
Из (10.1) уже известно, что каждая траектория попадает в открытый прямоугольник R по истечении конечного промежутка времени. Таким образом, чтобы доказать (8.1), будет более чем достаточно установить следующий сильный результат, который понадобится позже. [33]
Основной идеей доказательства Зельберга является то, что он применяв. C ( s), а к C ( s), умноженной на квадрат частной суммы ряда для C ( s) - 1 / 2 подобно юму, как это делалось при доказательствах наиболее сильных результатов гл. [34]
Наиболее сильные результаты получают сочетанием методов решета с аналитическими. Метод решета в сочетании с Шнирельмана методом дал возможность эффективно найти значение k такое, что любое натуральное число п4 можно представить суммой не более k простых чисел. [35]
Таким образом, понятие устойчивости зависит как от возмущений, которые мы допускаем, так и от типа эквивалентности, который мы требуем. Чем шире класс возмущений, тем грубее, по идее, должно быть подходящее понятие эквивалентности. Наиболее сильные результаты об устойчивости, и наиболее интересные - это когда класс возмущений оказывается шире ( или эквивалентность тоньше), чем это можно было ожидать с самого начала. [36]
Если бы мы могли величину сигнализирующей Фг рекурсивно ограничить величиной функции фг -, мы могли бы получать новые классы сложности эффективно по фг - вместо Фг. С другой стороны, мы знаем, что сложность функции нельзя рекурсивно ограничить ее величиной, и это вызывает подозрение, что не существует рекурсивной функции q, такой, что СФ / d C oq для всех достаточно больших фг. Следующий результат подтверждает это подозрение, устанавливая, что предыдущий результат является самым сильным результатом об эффективной равномерности, который мы можем получить, когда рассматриваем все всюду определенные функции. [37]
Выпуклая функция одной переменной имеет график, для которого ( в широком смысле) дуга лежит под хордой. Для целей приложений теорема формулируется в несколько более общей форме, имеющей иной внешний вид и очень трудно доказуемой, которую для краткости обозначим через Т; приведенная формулировка составляет ее основу. В Т область значений а и ( 3 расширяется за счет включения нуля, и тогда теорема позволяет интерполировать между двумя известными теоремами, что дает сильный результат. [38]
Но почему Раманужан был так уверен, что подобная формула существует. Трудно поверить, что это объясняется просто необычайной глубиной проникновения его умственного взора. С другой стороны, трудно представить себе, какие численные примеры могли быть в распоряжении Раману-жана, чтобы он мог привычным для него процессом интуитивной индукции прийти к заключению о справедливости столь сильного результата. В то же время, если вид F ( n) не был известен ему заранее, то никакие численные данные не могли ничего ему подсказать. Так что, по-видимому, единственный возможный вывод состоит в том, что открытие им правильных формул было результатом взлета гения. Эта теорема возникла в результате исключительно удачного сотрудничества двух математиков совершенно разнородных способностей, в котором каждый из них проявил самые сильные, самые характерные стороны своего таланта. [39]
X лежит на гладкой алгебраич. Вычисление размерности l ( D) является важной задачей теории А. Наиболее сильный результат в этом направлении - Римана - Роха теорема. [40]
Для линейных отображений предположения бочечности или ультрабочечности области определения позволяют получать сильнейшие возможные результаты, в данном случае - равностепенную непрерывность. Наше отрицательное утверждение показывает, что в общем невозможно получить более сильный результат. Оказывается, что при получении наиболее сильных результатов для билинейных отображений существенна полуметризуемость, как видно из следующих двух теорем. [41]
Сравнение числовой и геометрических ситуаций, блестяще использованное И.Р.Шафаревичем уже в его работе по общему закону взаимности, является давней традицией теории чисел и алгебраической геометрии. Она восходит к Кронекеру и Гильберту. В русле этих идей в работе [55] была развита конструкция минимальных моделей и канонического класса для схем размерности два: как обычных двумерных алгебраических многообразий над классическими полями, так и алгебраических кривых над такими естественными кольцами, как кольцо целых чисел. Это единообразное изложение проливает новый свет и на геометрический, и на арифметический случай. По существу, работа [55] впервые открыла возможность серьезного рассмотрения арифметической поверхности как геометрического объекта: без нее немыслимы были бы последующие сильные результаты теории чисел, дающие, скажем, полное описание точек конечного порядка эллиптических кривых над полем рациональных чисел. Геометрическому анализу известной проблемы ранга эллиптических кривых посвящена заметка [60], написанная совместно с Дж. [42]
Таким образом, читатель должен быть знаком только с небольшой частью содержания гл. Он должен также хорошо владеть теорией конечных квадратных матриц с комплексными элементами, предпочтительно в той форме, в которой эта теория изложена в § VII. Кроме того, от читателя требуется знание результатов § VII.3, главы IX о В-алгебрах и начала главы X, где рассматривается спектральная теорема для ограниченных самосопряженных операторов. Спектральная теорема для самосопряженных операторов не является логически необходимой для чтения главы XV, но знакомство с содержанием этой теоремы полезно, поскольку время от времени она используется в иллюстративных целях. Исключение составляет важная глава XX, в которой существенные и сильные результаты главы XIII широко используются в приложениях к некоторым глубоким проблемам современной физики, а также классической теории электромагнитных волн. Особенность главы XV состоит в элементарном изложении теории Парсеваля - Планшереля преобразования Фурье. [43]
Отображение фд зависит от класса D. Наиболее интересным с точки зрения бира-циональной классификации кривых являются отображения ф, соответствующие кратности пК канонич. При этом кривые X и X бирационально эквивалентны тогда и только тогда, когда их образы фзд ( Х) и фзд - ( Х) получаются друг из друга проективным преобразованием пространства Р5г - в. Для этих кривых отображение фд -: X - рг-1 будет изоморфным вложением в том и только том случае, когда X не является гиперэллиптической кривой. В этом направлении получен ряд сильных результатов, но исчерпывающего решения задачи пока ( 1977) не имеется. [44]
Фокса Краткий экскурс в теорию узлов, в которой излагаются в основном без доказательств важнейшие ( по мнению автора) моменты современной теории узлов. Для понимания первых трех параграфов первого приложения достаточно владеть основным текстом книги. Поэтому эти параграфы могут рассматриваться как расширение ( довольно значительное) рамок основного текста. Параграфы 4 и 5 посвящены приложениям теории накрывающих пространств к теории узлов. Для их понимания необходимо знание основ теории накрывающих пространств и теории гомологии в многообразиях. По-видимому, они будут доступны топологам с некоторым опытом. Отметим, что накрывающие пространства весьма существенны для теории узлов в силу многих обстоятельств. Кроме того, они проливают свет на истоки свободного дифференциального исчисления, на котором основан способ нахождения основных инвариантов узлов, но появление которого в основном тексте довольно неожиданно. Здесь нелишне также отметить, что многие наиболее сильные результаты трехмерной топологии связаны с теорией накрытий. Наконец, последний параграф Приложения I посвящен некоторым элементарным приемам нахождения представлений групп узлов. [45]