Cтраница 3
Если результаты измерений расположить в порядке возрастания, то при нечетном числе измерений медиану определяют как центральный результат, при четном числе измерений - как среднее арифметическое двух средних результатов выборки. При небольшом числе измерений на медиану не оказывают влияния отдельные случайные ошибки результатов больше или меньше среднего, так как она определяется только средним ( или двумя средними) результатами. Но по этой же причине при большом числе измерений ( п10) медиана непригодна, нужно рассчитывать среднее арифметическое. [31]
В этой главе закладываются основы теории относительной важности критериев. Прежде всего, дается определение понятия относительной важности для двух критериев и изучаются его простейшие свойства. Центральный результат главы - теорема 2.5, которая показывает, каким образом информацию о том, что один критерий важнее другого критерия с заданным коэффициентом относительной важности, можно использовать для сужения множества Парето. [32]
В § 1 обсуждаются три двумерные геометрии, S2, Е2 и Я2, и дается элементарное введение в геометрию гиперболической плоскости. Рассмотрены дискретные группы изометрий многообразий S2, E2 и Я2 и приведены центральные результаты в этой области. Термин орбиобразие принадлежит Терстону и используется для описания фактормногообразия по действию группы, которая не обязана действовать свободно. Некоторые авторы употребляют термин У-многообразие. Как было сказано ранее, всякая замкнутая поверхность допускает геометрическую структуру. Ситуация для орбиобразий близка - почти любое двумерное орбиобразие допускает геометрическую структуру. [33]
Тисса выделяет в классической равновесной термодинамике две независимые логические структуры: теорию Клау-зиуса - Кельвина, с одной стороны, и теорию Гиббса - с другой. В первой теории термодинамическая система является черным ящиком: вся необходимая информация о ее поведении выводится из количества энергии, переданной системе при помощи двух идеализированных устройств - резервуара тепла и резервуара работы. Здесь исходным является пространство нетермодинамических величин - объема, давления и молярных количеств компонентов. Центральный результат - установление понятий о внутренней энергии, энтропии, абсолютной температуре с помощью наблюдаемых величин. [34]
В этом параграфе мы суммируем результаты совместной работы автора и Су [ С 27 ], в которой в качестве пробных пространств берутся когомологические многообразия, имеющие рациональный когомологический тип кватернионных проективных пространств. Мы будем называть их когомологическими кватернионными проективными пространствами ( сокращенно CQP-пространствами) и, если не оговорено противное, будем использовать поле рациональных чисел Q в качестве поля коэффициентов во всех алгебрах когомологий, которые встречаются в этом параграфе. С алгебраической точки зрения между ССР-пространствами и CQP-пространствами имеется только небольшое различие в степенях образующих алгебр когомологий, а именно эта степень равна 2 для ССР-пространств и 4 для CQP-пространств. Однако эго небольшое различие приводит не только к тому, что соответствующая структурная теорема VI. Центральным результатом этого параграфа является следующая структурная теорема. [35]
В настоящем приложении дается определение множества меры нуль и доказывается относительно простой вариант теоремы Сарда. Этого слабого варианта достаточно, впрочем, для большинства приложений, рассмотренных в этой книге. В частности, он позволяет получить все центральные результаты гл. В этом и состоит притягательная черта того подхода, который мы здесь используем. [36]
Даже в этом простейшем нетривиальном случае функций одной переменной, по-видимому, нет простого доказательства великой теоремы, подобного тому, которое было дано в § 3 гл. Любая попытка голыми руками доказать сделанное утверждение, даже с одной только переменной t, приводит к подготовительной теореме Мальгранжа ( строгие источники) или, что эквивалентно, к теореме деления. Обсуждение этого вопроса можно найти в книге Мартинэ [31]; оно лежит за пределами принятых нами рамок. Нужно указать, что необходимость подготовительной теоремы в настоящем контексте впервые была понята Томом. Мальгранж вначале даже не поверил, что она может быть справедливой, и лишь настойчивость Тома убедила его в этом и склонила к тому, чтобы заняться ее доказательством. Том не публиковал первого ее доказательства - он не опубликовал никакого ее доказательства - но он почувствовал сам результат и оркестровал его доказательство. Нечасто случается, чтобы центральный результат теории, высказанный впервые, был встречен с недоверием главным экспертом в этой области. Теория катастроф, как мы не устаем повторять на протяжении всей книги, является расширением математического анализа или разработкой в его рамках, но не отходом, подобным ньютоновскому ( как это иногда утверждается), от предшествующего описания мира. Однако разработка эта ни в какой мере не является тривиальной или стандартной. [37]
Обозначим через К группу всех комплексных чисел с единичным модулем по умножению. Пусть G-локально компактная коммутативная группа со второй аксиомой счетности. Непрерывное гомоморфное отображение G в К называется характером G. Совокупность всех характеров р ( g), удовлетворяющих требованию р ( F) с U, называем по определению окрестностью нуля в у. В силу этой топологии группа у оказывается снова локально компактной и со второй аксиомой счетности. Если G дискретна, то группа характеров / будет компактна, если G компактна, то у дискретна. При фиксированном р это будет характер группыО, а при фиксированном g и меняющемся р мы получим характер группы у. Центральный результат теории характеров состоит в том, что различные элементы G дают различные характеры группы у и что все характеры у ими исчерпываются. G есть группа характеров у. Операция взятия группы характеров устанавливает взаимно однозначное отображение класса локально компактных коммутативных групп со второй аксиомой счетности на себя. При этом отображении компактные группы переходят в дискретные, и таким образом, например, задача классификации компактных групп оказывается равносильной задаче классификации абстрактных счетных групп. [38]