Cтраница 4
Уравнение Шредингера можно точно решить лишь в нескольких простых случаях; большей частью мы принуждены ограничиться приближенными методами решения, обсуждавшимися в гл. Однако большая группа искомых результатов зависит только от свойств симметрии рассматриваемой системы. Для получения строгих результатов такого типа можно применять определенный раздел математики, носящий название теории групп. [46]
В рамках феноменологического подхода для иахождения закономерностей изменения неизвестных наблюдаемых величин в пространстве и во времени используются общие физические законы ( такие, например, как законы сохранения, постулаты термодинамики и др.) в сочетании с соотношениями между наблюдаемыми величинами, вид которых получен в результате обработки экспериментальных данных. Основу феноменологического подхода для описания гидродинамики систем газ-жидкость составляют законы классической гидромеханики, которая строго описывает движение каждой фазы ( см. разд. Однако применение строгих результатов, полученных из фундаментальных соотношений гидромеханики ( таких, как уравнение Навье-Стокса), к расчету газожидкостных течений является практически невыполнимой задачей, за исключением ряда простых примеров, рассмотренных во второй и третьей главах книги. [47]
Другими словами, поляризация каждой электронной группы из-за присутствия других групп полностью учитывается оптимизацией в рамках одноконфигурационного приближения. Обычно в теории межмолекулярных сил такие взаимодействия рассматривают в рамках приближения дипольных переходов. Но в настоящей книге мы получили совершенно строгие результаты: мы не используем здесь никаких мультипольных разложений и нигде не пренебрегаем обменными эффектами. [48]
Чрезвычайно полезно использование метода Монте-Карло для проверки различных теорий, дающих приближенную статистическую трактовку той или иной модели. Сопоставление с опытом в данном случае часто непоказательно, так как трудно оценить относительную роль ошибок, обусловленных приближенным характером модели и приближенным способом обработки модели. В то же время метод Монте-Карло может дать строгий результат для рассматриваемой модели. Так, результаты, полученные по методу Монте-Карло для системы твердых шариков, сопоставляют с теоретическими зависимостями для этой системы, найденными в суперпозиционном приближении, и благодаря этому уясняют, какую ошибку вносит суперпозиционное приближение. Широко используется метод Монте-Карло для расчетов модели Изинга, рассмотренной в предыдущей главе, и других моделей. С развитием машинной вычислительной техники этот метод получает все более широкое применение. [49]
Чрезвычайно полезно использование метода Монте-Карло для проверки различных теорий, дающих приближенную статистическую трактовку той или иной модели. Сопоставление с опытом в данном случае часто непоказательно, так как трудно оценить относительную роль ошибок, обусловленных приближенным характером модели и приближенным способом обработки модели. В то же время метод Монте-Карло может дать строгий результат для рассматриваемой модели. Так, результаты, полученные по методу Монте-Карло для системы твердых шариков, послужили критерием оценки качества суперпозиционного приближения, интегральных уравнений Перкуса - Йевика, гиперцепного и др. В настоящее время методом Монте-Карло исследован ряд систем с потенциалом взаимодействия Леннард-Джонса ( в частности, жидкий аргон) и получены результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом. Изучены некоторые системы, образованные частицами несферической формы, полярными молекулами, приведены расчеты для одной из самых сложных жидкостей - воды. Широко используется метод Монте-Карло для расчетов модели Изинга, рассмотренной в предыдущей главе, и других моделей. С развитием машинной вычислительной техники этот метод получает все более широкое применение. [50]
Качество и производительность работы программиста существенно зависят от его умения практически работать на машине. Именно на машине в конце концов проверяется правильность функционирования программы, разработка которой может вестись в тиши кабинетов, читальных залов или в другой обстановке, привычной для творческой умственной работы. Именно машина должна понять и воплотить замыслы программиста в строгие результаты сложных расчетов или мгновенную реакцию на изменение внешних условий. Именно машина является первым читателем и критиком новой программы, всегда придирчивым и не слишком деликатным. [51]
Мы видим, таким образом, что сжимаемости и адсорбции играют роль параметров, эффективно описывающих коллективные явления. Эти параметры, в частности, включают в себя вклады и от короткодействующих сил - в том числе сил отталкивания. Привлечение сжимаемостей и адсорбции в качестве параметров описания коллективных явлений позволило нам получить для асимптотических задач строгие результаты в рамках микроскопической теории систем сильно взаимодействующих частиц. [52]
Недавно появилась область исследований, связанная с систематическим доказательством теорем с помощью метода полных или частичных решений; Ван Хао [22, 23] назвал ее машинной математикой. Будущее определит сравнительную ценность таких и более прямых методов. Успех доказательства по-настоящему трудных теорем в математике в сильной степени зависит от плана доказательства, от конструкции лемм и изящности использования ранее полученных строгих результатов. Изучаемые сейчас систематические алгоритмы доказательства рассматриваемого типа не обладают этими качествами, и мы опасаемся, что они безнадежно затеряются среди бесконечных ветвей неудержно разрастающихся деревьев логического поиска, прежде чем принесут математике ощутимые плоды. [53]