Cтраница 3
Мы покажем, что эта алгебра всех сверток, действующих в § ( независимо от того, определяем ли мы их как ограниченные аддитивные функции множества, как счетно аддитивные функции множества, как обычный интеграл Лебега, как главное значение интеграла или как любой другой несобственный интеграл), является Б - алгеброй, которая - эквивалентна В - алгебре s4 L o ( RN, 2, ds), где Е есть а-поле измеримых по Лебегу множеств, a ds - мера Лебега. Иногда оказывается удобным рассматривать основное пространство предыдущего параграфа как одноточечную компактификацию RN, получающуюся добавлением одной точки оо. [31]
По мере удаления от начала координат вдоль такого пути подинтегральная функция весьма быстро убывает. Поэтому главное значение интеграла ( 120) определяется в результате интегрирования по малому участку контура, близкому к началу. [32]
С в плоскости v изображен на рис. 98; он охватывает точку v - kZ - & cos. Q берется главное значение интеграла. [33]
Очевидно, может случиться, что предел () существует, а пределы, стоящие в правой части равенства (), не существуют. Выражение, стоящее справа в равенстве (), называется главным значением интеграла. Итак, в равенстве ( 2) рассматривается главное значение несобственного ( внешнего) интеграла. [34]
Очевидно, может случится, что предел () существует, а пределы, стоящие в правой части равенства (), не существуют. Выражение, стоящее справа в равенстве (), называется главным значением интеграла. Итак, в равенстве ( 2) рассматривается главное значение несобственного ( внешнего) интеграла. [35]
Очевидно, может случиться, что предел () существует, а пределы, стоящие в правой части равенства (), не существуют. Выражение, стоящее справа в равенстве (), называется главным значением интеграла. Итак, в равенстве ( 2) рассматривается главное значение несобственного ( внешнего) интеграла. [36]
Главное значение особого интеграла не может существовать, если функция f ( х) при дг-с 0 стремится к бесконечности одного знака. Также, если не существует только один из двух пределов, то предел, определяющий главное значение интеграла, не существует. [37]
Если для некоторой функции существует несобственный интеграл, то у этой функции существует и главное значение интеграла и оно совпадает с ее несобственным интегралом. Обратное неверно: у функции может существовать ( и, следовательно, быть конечным) главное значение интеграла, а несобственный интеграл быть расходящимся. [38]
Например, создание теории крыла большого удлинения на базе сингулярных интегральных уравнений было бы невозможно без постулирования понятия главного значения интеграла в смысле Коши. [39]
Совершенно аналогично определяется главное значение интеграла и в том случае, когда f ( x) имеет несколько точек разрыва непрерывности внутри промежутка. Если существует обычный несобственный интеграл от функции / ( х) по всему промежутку ( а, Ь [ I, 97), то главное значение интеграла ( 145) совпадает, очевидно, с этим несобственным интегралом. Из определения ( 145) непосредственно вытекает, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла и что интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от отдельных слагаемых, причем предполагается, что интегралы от слагаемых существуют в смысле главного значения. [40]
Совершенно аналогично определяется главное значение интеграла и в том случае, когда f ( х) имеет несколько точек разрыва непрерывности внутри промежутка. Если существует обычный несобственный интеграл от функции f ( х) по всему промежутку ( а, Ь) [ I, 97 ], то главное значение интеграла ( 150) совпадает, очевидно, с этим несобственным интегралом. Из определения ( 150) непосредственно вытекает, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла и что интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от отдельных слагаемых, причем предполагается, что интегралы от слагаемых существуют в смысле главного значения. [41]
Эта предельная процедура не является строгой. Главное значение интеграла в (15.9) существует, а сингулярность при / г ] / е устраняется путем взятия главного значения. Подстановка (15.9) в левую часть уравнения (15.1) дает fi ( x - x), и так как К ( х, х) содержит в равных пропорциях выходящую и входящую волны, то она и является искомой функцией Грина с точностью до возможных неопределенностей в добавке Cf ( kx) j ( kx), где С - вещественная константа. [42]
В формуле ( 13) мы должны интеграл рассматривать в смысле главного значения. Но если из каких-либо соображений мы знаем, что интеграл этот существует как обычный несобственный интеграл, то этого не надо делать, так как в этом случае интеграл в смысле главного значения совпадает с обычным несобственным интегралом. В [26] мы определили главное значение интеграла в том случае, когда f ( x) терпит разрыв непрерывности в какой-либо точке на конечном расстоянии. [43]
Книга состоит из двух глаь, не одинаковых по величине. Первая глава содержит основные факты теории интегральных уравнений, а также методы приближенного их решения. Особое место занимает в этой главе теория сингулярных интегральных уравнений, содержащих главное значение интеграла. Достаточно хорошо разработанная, имеющая многочисленные и весьма плодотворные приложения, она, тем не менее, до сих пор не нашла своего места в курсах интегральных уравнений. [44]
В работах [3] и [4] эффективность метода была затем улучшена путем выбора функций, линейно меняющихся на каждом граничном элементе. Неизвестные величины при этом соответствуют концам или вершинам углов элементов. Интегрирование производится аналитически, при этом должное внимание следует уделить определению главных значений интегралов по Коши. Коэффициент при свободном члене более не обязан быть равным l / 2& ij, для трехмерной задачи свободный член вычисляется в явном виде в работе [4], для чего рассматривается перемещение твердого тела как целого. [45]