Точное значение - интеграл
Cтраница 2
Читатель, конечно, дает себе отчет в том, что погрешность мы смогли оценить здесь лишь потому, что наперед знали точное значение интеграла. [16]
Если матрица (1.4) узлов интерполяционного процесса имеет функцию Чебышева своей предельной функцией распределения и если функция f является аналитической на [ а, Ь ], тогда интерполяционный квадратурный процесс ( 9) сходится к точному значению интеграла. [17]
Интеграл в последнем члене соотношения ( 2) всегда положителен, но коэффициент при нем меняет знак для последовательных значений г. Следовательно, ошибка, которая получится, если этот член отбросить, также последовательно меняет знак, и поэтдму точное значение интеграла ( 1) всегда находится между суммами из г и г 1 членов ряда. Если х достаточно велико по сравнению с га, последовательные члены ряда будут уменьшаться до минимума, а затем снова возрастать. [18]
А, а затем с удвоенным шагом H2h, получив его новое приближенное значение Ев. Ен считают принадлежащими точному значению интеграла. [19]
Может случиться, что подынтегральная функция обращается в нуль в каждой из точек х, а абсолютная величина интеграла от нее велика. Тогда разность между точным значением интеграла и приближенным, полученным по формуле Гаусса, будет также очень велика. В связи с этим нужно сказать, что при выборе той или иной формулы численного интегрирования бывает целесообразно изучить поведение подынтегральной функции и сравнить его с поведением интерполяционного многочлена, интегрированием которого получается формула численного интегрирования. Иногда возникает необходимость разбивать отрезок интегрирования на отдельные участки так, чтобы лучше описать поведение функции интерполяционными многочленами. [20]
 |
Разбивка треу. [21] |
Полученные весовые коэффициенты позволяют вычислять точное значение интегралов по треугольной области от любого полинома не выше третьей степени. [22]
Левая часть уравнения (5.21) может быть точно измерена для изолированных полос при использовании очень узкой щели. Даже после того, как получено точное значение интеграла ( в координатах частота - оптическая плотность, но не пропускание), остается сомнение в знаке квадратного корня. [23]
Известно, что основное назначение и практическая ценность различных способов приближенного интегрирования заключается в том, что они позволяют находить приближенное значение интеграла, не поддающегося точному вычислению. Однако мы ограничимся решением некоторых примеров, где точное значение интеграла легко находится и где мы можем сравнить полученное нами приближенное значение с точным. [24]
Знаки главного члена погрешности у формул трапеций и средних разные. Поэтому, если есть расчеты по обеим формулам, то точное значение интеграла лежит, как правило, в вилке между ними. Деление этой вилки в отношении 2: 1 дает уточненный результат, соответствующий формуле Симпсона. [25]
Обобщенная формула Симпсона получается линейной комбинацией двух обобщенных формул трапеций на равномерной сетке. При сгущении сетки каждая из последних формул сходится к общему пределу - точному значению интеграла. Значит, и формула Симпсона сходится для любой непрерывной функции. [26]
Мы видим, что Эйлер подошел вплотную к предложению о том, что значение первообразной функции есть предел интегральной суммы. Но так как понятие предела ему чуждо, он вынужден сказать, что точное значение интеграла можно получить, не иначе как положив слагаемые нулями. [27]
Разумеется, формула (5.21) дает точный результат, если f ( x) представляет собой многочлен второй степени. Однако, как будет показано ниже ( см. § 27), эта формула дает точное значение интеграла и тогда, когда f ( x) - многочлен третьей степени. [28]
Во многих случаях оценка погрешности квадратурной формулы Симпсона ( 1) по формуле ( 2) весьма затруднительна. Тогда обычно применяют двойной пересчет с шагами h и 2А и считают, что совпадающие десятичные знаки принадлежат точному значению интеграла. [29]
Вывод формул ( 9), ( 15) и ( 16) основан на использовании понятия сходимости по вероятности. Это означает, что для любого сколь угодно малого числа г, 0 вероятность неравенства / - - 7 к, где / - точное значение интеграла 7 - его приближенное значение, найденное методом Монте-Карло, возрастает с увеличением Af. Последнее обстоятельство на практике встречается редко. [30]
Страницы: 1 2 3