Cтраница 3
Очевидно, ошибка формулы зависит от величины шага интегрирования ( от числа узловых точек), а также от класса подынтегральной функции. Погрешность формулы целесообразно оценивать, используя следующую более высокую степень подынтегральной функции, чем та, для которой она дает точное значение интеграла. [31]
Вывод формул ( 9), ( 15) и ( 16) основан на использовании понятия сходимости по вероятности. Это означает, что для любого сколь угодно малого числа е 0 вероятность неравенства / - 7 е, где / - точное значение интеграла 7 - его приближенное значение, найденное методом Монте-Карло, возрастает с увеличением N. Последнее обстоятельство на практике встречается редко. [32]
Вывод формул ( 9), ( 15) и ( 19) основан на использовании понятия сходимости по вероятности. Это означает, что для любого сколь угодно малого числа е 0 вероятность неравенства / - Т: е, где / - точное значение интеграла, 7 - его приближенное значение, найденное методом Монте-Карло, возрастает с увеличением N. Тем не менее может случиться, что и при очень больших N окажется, что / - 1 к. Последнее обстоятельство на практике встречается редко. [33]
В этом параграфе мы рассмотрим один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования, а именно правило Симпсона. Этот метод аналогичен правилу трапеций в той части, что интегрирование производится путем разбиения общего интервала интегрирования на множество более мелких отрезков; однако теперь для вычисления площади над каждым из них через три последовательных ординаты разбиения проводится квадратичная парабола. Можно было бы ожидать, что аналогично тому, как правило трапеций дает точный результат при интегрировании линейных функций, правило Симпсона даст точный результат при интегрировании многочленов второго порядка; в действительности же получается несколько парадоксальный результат: формула Симпсона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно. Поэтому при всей своей простоте этот метод весьма точен, хотя формула для численного интегрирования получается ненамного сложней, чем для правила трапеций. Простота и точность правила Симпсона сильно способствуют его широкому применению при вычислениях на ЭЦВМ. [34]
Несмотря на универсальность метода углового спектра плоских волн, применение его во всех случаях не рекомендуется, так как оно связано со сложными вычислениями, увеличивающими стоимость проектирования устройства. Кроме того, в качестве исходных данных требуется точная информация о поверхности фазовых скоростей ПАВ. Для материалов с большой анизотропией значение интеграла (6.12) очень критично к ошибкам в определении скорости. Поэтому точные значения интеграла (6.12) удается получить лишь для хорошо изученных направлений распространения ПАВ, например для FZ-среза ниобата лития. [35]
Для вычисления интеграла необходимо воспользоваться численным интегрированием. Для интегрирования по прямоугольнику первоначально рассмотрим одномерный случай. При использовании полиномов Лагранжа узлы назначаются априори, при этом, как правило, используются равностоящие узлы. При п узлах численное интегрирование по Лагранжу дает точное значение интеграла вплоть до полинома ( п - 1) - й степени. [36]
В предыдущем пункте были сформулированы некоторые теоремы о сходимости общего квадратурного процесса. Проследим сейчас, как упрощаются эти теоремы для интерполяционных квадратур. Здесь дело заключается в том, что первым условием в указанных теоремах было требование сходимости квадратурного процесса для всяких многочленов. Для интерполяционных квадратурных процессов это требование может быть опущено, так как оно всегда выполняется. Поэтому, если интегрируемая функция f есть многочлен некоторой степени т, то при всяких п m в интерполяционном квадратурном процессе всегда будет получаться точное значение вычисляемого интеграла, и процесс будет, очевидно, сходящимся. [37]