Cтраница 3
В этом и следующем разделах проиллюстрируем применение формального аппарата теории поля к рассмотрению глубоконе-упругого рассеяния, во-первых, чтобы придать читателю уверенности в возможности строгого обоснования ряда утверждений, сделанных ранее, в частности о том, что в инклюзивных реакциях доминируют малые расстояния ( и в терминах каких величин эта доминантность, строго говоря, проявляется), и тех, которые будут сделаны в последующих разделах, и, во-вторых, чтобы связать задачу описания глубоконеупругих процессов с общими методами уравнений ренормгруппы, изложенными в гл. Также по ходу изложения будет введено разложение произведения операторов на малых расстояниях, на общность и важность которого в теории поля указал Вильсон и которое обычно называют разложением Вильсона ( отметим, что в гл. [31]
Количеств, вычисления КП и обоснование картины скейлинга связаны с применением методов ренормализаци-онной группы и эпсилон-разложения. Метод ренормгруппы состоит в последовательном усреднении по всевозможным флуктуанням с пространств, масштабами, меньшими нек-рого /, при фиксир. Изменяя затем единицы измерения длин ( и соответствующим образом единицы флуктуирующих полей), возвращаемся к системе с теми же линейными размерами, но несколько измененным функционалом свободной энергии. КП вычисляют с помощью линеаризации ур-ний ренормгруппы вблизи неподвижной точки. [32]
Второй вариант метода ренормгруппы основан на теоретико-полевом подходе к проблеме фазового перехода. Изложение теоретико-полевого варианта ренормгруппы будет дано в гл. [33]
Заметим, что а как функция g0 имеет существенно неаналитическое поведение по g0 вблизи нуля. Можно сказать, что пертурбативная ренормгруппа дает нам непертурбативную информацию. [34]
Это замечательное обстоятельство нуждается, очевидно, в серьезном теоретическом обосновании. Оно достигается привлечением метода ренормгруппы ( РГ), к изложению которого мы теперь переходим. [35]
Метод ренормализационпой группы в квантовой теории поля, по существу, также основан на использовании автомодельного преобразования переменных. Интересно, что в автомодельных переменных ур-ние ренормгруппы оказывается тождестненным одномерному ур-нию переноса излучения. [36]
Удобство схемы минимальных вычитаний связано с тем, что в этом случае контрчлепы имеют особенно простую структуру, в частности, они вообще не зависят от массы. Это значительно упрощает многие вычисления, в особенности решение уравнений ренормгруппы, о которых речь пойдет в последней главе. Кроме того, если между регуляри: юванными функциями Грина существуют какие-либо соотношения симметрии ( например, обобщенные тождества У орда), то они автоматически сохраняются и для перенормированных величин. Поэтому отбрасывание полюсных членов не может нарушить эти соотношения. [37]
Наиболее известны теория фазовых переходов Ландау и более поздние теории, основанные на ренормгруппе Вильсона. Здесь достаточно будет напомнить читателю теорию Ландау. Рассмотрим систему в термодинамическом равновесии; допустим, это будет ферромагнетик. Предположим, что для векторов магнитных моментов допустимы только два направления: вверх и вниз. [38]
Логопериодичность оказывается прямым и общим признаком существования предпочтительного масштабирующего фактора подобия, ( что потом мы назовем инвариантностью дискретной шкалы), соответствующего увеличительному множителю, связывающему один уровень иерархии со следующим. Затем мы немного формализуем эту идею и покажем, как замечательная техника, называемая группа перенормировок или ренормгруппа, извлекает выгоду из существования мультимаштабного самоподобия свойств критического явления, чтобы вывести фундаментальное и точное описание этих моделей. Мы обеспечим несколько наглядных примеров, включая обобщенную функцию Вейерштрасса ( Weierstrass) - фрактальную модель ценовых траекторий фондового рынка, которая является непрерывной, но демонстрирует неровные структуры на всех масштабах увеличения. [39]
Значения масс получаются с помощью вычисления поведения мезонных и кварковых пропагаторов на больших расстояниях. В исходное действие входят два параметра - голая масса кварка и голый заряд, которые связаны с шагом решетки через уравнения ренормгруппы. Таким образом, чтобы определить эти параметры, необходимы две массы. В качестве одной из них часто берут массу т-мезона, а в качестве другой - массу р-мезона или наклон траектории Редже. Вычисления указывают на наличие спонтанного нарушения киральной симметрии, причем пион выступает в роли голдстоунов-ского бозона. Заметим, что обычно такую частицу рассматривают как когерентное возбуждение вакуума, которое представляет собой конденсат элементарных составляющих пар. Интересно, что такой результат получается при использовании приближения, в котором вкладом в пионный пропагатор от кварковых петель пренебре-гается. [40]
Предположение об аналитичности Leff ( 0 в окрестности особой точки / у может не выполняться, коль скоро сценарий разыгрывается на фрактальном множестве. Однако, приведенные выше соображения о масштабной инвариантности процесса на стадии, когда состояние среды близко к пределу длительной прочности, позволяют, по аналогии с теорией фазовых переходов, предположить, что в общем случае анализируемый процесс должен быть инвариантен относительно преобразований ренормгруппы. [41]
Для изученных в [187, 188] систем спиновые представления кристаллографических групп имеют высокую размерность и несколько инвариантов четвертого порядка. Качественный анализ уравнений ренормгруппы показывает, что, как правило, стабильные неподвижные точки вообще отсутствуют, так что фазовый переход совершается скачком. Однако для некоторых кристаллографических групп фазовый переход второго рода не запрещен. [42]
Не менее значителен вклад Боголюбова в квантовую теорию поля. Он впервые показал, как могут быть доказаны дисперсионные соотношения в теории элементарных частиц, и дал математически строгое обоснование перенормировок во всех порядках теории возмущений. Ему принадлежит заслуга развития теории ренормгруппы. [43]
Здесь Л0 - постоянная интегрирования; индекс нуль указывает на то, что Л0 определяется с помощью голой константы g0 при решеточном вильсоновском обрезании. В случае перенормированной константы gR вместо а будет фигурировать г и вместо А0 - другая постоянная интегрирования AR. Постоянная, возникшая при интегрировании уравнения ренормгруппы, задает шкалу в теории сильных взаимодействий. [44]
В заключение заметим, что определение надлежащих вероятностей Pi-задача далеко не тривиальная. Действительно, нахождение правильной процедуры определения формулы (6.32) для меры экспериментального множества эквивалентно правильному выбору параметра порядка для фазового перехода. После того как параметр порядка установлен, становится применим весь мощный аппарат теории фазовых переходов Ландау, и критическое поведение можно вычислять с помощью методов ренормгруппы. Но для правильного выбора параметра порядка необходимо глубокое понимание исследуемого явления. [45]