Решение - задача - кручение
Cтраница 3
Далее рассмотрены два примера применения способа Галеркина к решению задач кручения стержней прямоугольного и трапецеидального сечений. [31]
Граничные условия в обеих задачах одни и те же: в одной задаче касательные напряжения, в другой - скорости движения жидкости должны быть направлены по ка: сательной к контуру. Таким образом, решение задачи циркуляции жидкости в сосуде определенной формы аналогично решению задачи кручения призматического стержня с поперечным сечением той же формы. [32]
Строгие математические решения для задач теории упругости имеются, однако, лишь для простейших случаев; в связи с этим общей тенденцией в этой науке в настоящее время является использование различных приближенных методов. Мы уже упоминали о мембранной аналогии, установленной Прандт-лем и оказавшейся весьма эффективной в решении задач кручения. Эта аналогия была распространена Венингом Мейнешем3) на теорию изгиба. [33]
После установления Навье в 1821 г. основных уравнений и создания Коши теории напряжений и деформаций важнейшее значение для развития теории упругости имели исследования Сен-Венана. В его классических работах по теории кручения и изгиба на основе общих уравнений теории упругости дано решение задач кручения и изгиба призматических брусьев. В этих исследованиях Сен-Венан создал полуобратный метод решения задач теории упругости, сформулировал знаменитый принцип Сен-Венана, дающий возможность получить решение задач теории упругости. С тех пор было затрачено много усилий на развитие теории упругости и ее приложений, доказан ряд общих теорем, предложены общие методы интегрирования дифференциальных уравнений равновесия и движения, решено много частных задач, представляющих принципиальный интерес. Развитие новых областей техники требует более глубокого и широкого изучения теории упругости. Большие скорости вызывают необходимость постановки и решения сложных вибрационных проблем. Легкие металлические конструкции привлекают серьезное внимание к вопросу упругой устойчивости. Концентрация напряжений вызывает опасные последствия, поэтому пренебрегать ею рискованно. [34]
Заметим, что при выводе уравнений ( 1) и ( 10) предполагается использование деформационной теории пластичности. Однако, как показал Прагер [7], и деформационная теория, и теория пластического течения дают одно и то же решение задачи кручения в случае, когда либо поперечное сечение имеет форму круга, либо материал является идеально пластическим. Разумно предположить поэтому, что отмеченное совпадение будет приближенно выполняться для большинства практических задач. Действительно, в работе [8] было показано, что в случае задачи о кручении стержня квадратного сечения при наличии упрочнения имеется лишь небольшое отличие между результатами, полученными по теории течения и деформационной теории. Применение теории течения заметно не осложнит решения задачи, которое можно строить шаг за шагом, как это будет рассмотрено ниже для плоских задач. [35]
Задача изгиба ( § 350) является трудной задачей. В граничное условие ( 34) входят очень сложные выражения, и поэтому мало вероятно, чтобы метод решения, аналогичный решению задачи кручения в § 341, привел к полезным результатам. Мы говорим сейчас о методе, в котором заранее задается гармоническая функция двух переменных На этом мы закончим пока общее изложение задачи. [36]
При сопоставлении с методом конечных разностей обнаруживается значительное сокращение числа подлежащих определению неизвестных, а также значительно более быстрая сходимость метода ГИУ, причем следует иметь в виду, что в обоих подходах использовался метод последовательных упругих решений. Эти обстоятельства должны сказаться на значительном сокращении машинного времени, хотя машинное время ни в коем случае не является ограничивающим фактором при решении задач кручения. [37]
В работах [35, 36, 67, 163, 165, 206, 255] авторы, основываясь на схеме Ивлева Ершова, получили приближенные решения задач о растяжении плоскости из упрочняющегося упругопла-стического и упруговязкопластического материала с круговым, эллиптическим и многоугольным отверстием, подверженных действию внутреннего давления. Развитие этого подхода на упругопластические задачи с включениями дано в публикациях [164, 166] и др. Та же схема использована и в работах [260, 261] и некоторых других при решении задач упругопластического кручения стержней различной формы. [38]
Рассмотрим некоторые задачи теории кручения, решаемые относительно элементарными средствами. Прежде всего, если мы выберем произвольную функцию F, удовлетворяющую уравнению (9.7.5), то условие F const определит контур того сечения, для которого функция F дает решение задачи кручения. Конечно, набор сколько-нибудь полезных решений такого типа ограничен, однако некоторые случаи оказываются интересными. [39]
 |
Стержень, нагруженный поперечной силой ( а. поперечное сечение ( Ь. [40] |
Заметим, что решения другим способом получены и для иных форм поперечного сечения с выточками. Возможны также аналитические решения для сечений с множеством выточек. В заключение следует отметить, что дальнейшие возможности решения задачи кручения могут быть связаны с применением конформного отображения. [41]
Из (2.6.1) легко видеть, что в этом случае г / 0 - центр жесткости сечения, имеющего ось симметрии, расположен на этой оси. При наличии двух осей симметрии центр жесткости С сечения совпадает с точкой пересечения этих осей, то есть с центром инерции О. В этом частном случае рассмотрение задачи изгиба не требует решения задачи кручения. [42]
Кристофеля - Шварца, аналогичные им полиномы с неопределенными коэффициентами. Тем же автором были рассмотрены и некоторые другие формы отверстий и найденные отображения с успехом применены к решению задач кручения круговых цилиндров, ослабленных теми или иными продольными выточками. [43]
В главе I мы, как первую задачу, теоретически рассмотренную в сопротивлении материалов, отметили задачу о балке, один конец которой заделан, а другой нагружен силой. До Сен-Венана упомянутая задача привлекала внимание многих математиков. В то же вреяя были предложены также решения задачи кручения, но все они были получены с помощью методов, основанных на сомнительных предположениях. [44]
Читая лекции в Школе мостов и дорог, Сен-Венан предпринял одновременно практическую работу для Парижского муниципалитета. Некоторые из его предложений не были, однако, приняты, п в знак протеста он вовсе отказался работать для города. Вскоре Сен-Венан заинтересовался гидравликой и ее применением в сельском хозяйстве. Он выпустил несколько печатных работ по этому вопросу, за что был награжден золотой медалью Французского агротехнического общества. Два года ( 1850 - 1852) он читал лекции по механике и Агротехническом институте в Версале. Эти занятия не отвлекли Сен-Венана от излюбленной им работы, и он продолжал вести одновременно свои исследования по теории упругости. Однако в законченной форме его идеи о решении задач кручения и изгиба получили воплощение позднее, в двух знаменитых мемуарах, опубликованных в 1855 и 1856 гг. На них мы остановимся в следующих разделах этой книги. [45]
Страницы: 1 2 3