Cтраница 3
Такая идея впервые применена А. А. Ильюшиным [67, 69], а затем развита И. А. Бир-гером [9, 11, 12] и др. Рассмотрим наиболее общие методы решения задач теории пластичности. [31]
Таким образом, зная напряжения и деформации, отвечающие точке С, которые определяются при нагружении как результат решения задачи теории пластичности, напряжения и деформации, отвечающие точке D, можно определить из уравнений теории упругости. [32]
Суть его заключается в рассмотрении последовательности линейных задач теории упругости, решения которых с увеличением порядкового номера сходятся к решению задачи теории пластичности. [33]
Заметим, что более полное, нежели ( 2), выражение для потенциала приращений пластических деформаций ( при наличии касательных напряжений) было использовано Хиллом [6 ] для решения задач теории пластичности ортотропных материалов. Оно является частным случаем потенциала приращений пластических деформаций, предложенного Мизесом [10 ] для анизотропного материала. [34]
В заключение заметим, что поля скольжения обладают рядом других интересных свойств ( см., например, [16 23- 37]), на которых мы не останавливаемся, так как обычно они не используются в решениях задач теории пластичности. [35]
Второй раздел посвящен методам механики деформируемого твердого тела, обладающего свойствами пластичности и ползучести: критерии и теории пластичности, теория предельного состояния, теория ползучести при одноосном напряженном состоянии и ее обобщение на неодноосное напряженное состояние, методы решения задач теории пластичности. [36]
Решение задачи теории пластичности должно удовлетворять этим 18 уравнениям, а также граничным условиям (1.3) и условиям совместности деформаций (1.11), (1.12), общим для упругого и пластического тела. Даже при сокращении общего количества числа уравнений, решение их вызывает большие трудности. [37]
Фундаментальные работы по математической и прикладной теории пластичности связаны с именами советских ученых. Для решения задач теории пластичности А. А. Ильюшин предложил весьма эффективный метод так называемых упругих решений и применил его к пластинкам и оболочкам, он же обобщил формулировку теорий пластичности Сен-Венана, Леви и Мизеса, устанавливающих зависимость между напряжениями и скоростями деформаций. [38]
Заметим, что при нагружении тела произвольной формы какими-либо внешними нагрузками в нем одновременно могут появиться зоны упругих и неупругих деформаций. В связи с этим решение задачи теории пластичности должно удовлетворять не только геометрическим и статическим граничным условиям на поверхности тела, но и дополнительным условиям на поверхности раздела зон упругих и пластических деформаций. [39]
В настоящее время для практических расчетов конструкций, нагружаемых за предел упругости, часто применяют различные численные методы, сводящие решение нелинейной упруго-пластической задачи к последовательности линейных ( упругих) задач с некоторыми дополнительными условиями. Впервые такой подход к решению задач теории пластичности был предложен А. А. Ильюшиным, разработавшим известный метод упругих решений с дополнительными нагрузками. В дальнейшем, особенно в связи с применением ЭЦВМ, работы этого направления были значительно развиты. Большая заслуга принадлежит И. А. Биргеру, предложившему ряд эффективных методов, основанных как на теории малых упругопла-стических деформаций, так и на теории пластического течения. [40]
Диаграмма с линейным упрочнением приведена на рис. 7.2 в. Эти две аппроксимации наиболее часто используются при решении задач теории пластичности. Например, теория идеальной пластичности применяется для расчетов элементов строительных конструкций по несущей способности. [41]
Решение нелинейной системы ищется в виде некоторой сходящейся последовательности решения линейных задач. Такая идея впервые была применена А. А. Ильюшиным [51] для решения задач теории пластичности и получила название метода упругих решений. В программах реализуются несколько вариантов метода упругих решений: метод переменных параметров упругости; метод начальных напряжений; метод начальных деформаций. Процесс последовательных приближений считается законченным, если его результаты отвечают некоторому критерию сходимости. Основными являются критерии сходимости по напряжениям и перемещениям. [42]
Для решения нелинейных уравнений теории упруго-пластических деформаций применяют различные варианты метода последовательных приближений. Решение задач теории пластичности сводится при этом к решению последовательности линейных задач, каждая из которых может быть интерпретирована как некоторая задача теории упругости. [43]
Точно так же возможно применение методов теории упругости, а именно: прямого, обратного и полуобратного. Однако решение задачи теории пластичности имеет свои специфические особенности вследствие нелинейности. [44]
На первый взгляд кажется, что условие пластичности Треска - Сен-Венана более простое. Действительно, если главные оси заранее известны, то эти условие выражается при помощи линейных функций от компонент тензора напряжений, притом самых простых линейных функций. Но при решении задач теории пластичности мы обычно не знаем, какое напряжение окажется больше, какое меньше; мы далеко не всегда можем указать заранее и знак напряжения. Поэтому мы не знаем, на какой стороне шестиугольника окажемся, какую из простых формул нужно применить. А если главные оси заранее неизвестны, то теория Треска - Сен-Венана оказывается существенно более сложной. [45]