Cтраница 3
В ряде случаев появление составляющей, пропорциональной ei, не является неизбежным даже в случае присутствия округлений. При решении проблемы собственных значений для дифференциальных и интегральных операторов иногда возникают матрицы А со специфическими свойствами. [31]
Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы является одной из самых сложных задач линейной алгебры. Численные методы для решения проблемы собственных значений должны быть итерационными, так как в конечном счете они связаны с определением корней алгебраического многочлена. [32]
Вторая матрица иллюстрирует случай кратных собственных значении. Применение процедур при решении проблемы собственных значений для трехдиаго-нальных матриц будет показано в дальнейшем ( алг. Приведение матриц к трехдиагональной форме было выполнено на вычислительной машине KDF9, которая имеет 39 разрядов для представления мантиссы двоичных чисел. [33]
Как уже отмечалось ранее, компьютеры играют важную роль при анализе сложных спектров, возникающих от спиновых систем невысокой симметрии или от систем, содержащих большое количество ядер. В этих случаях описанные выше упрощения не применимы, и для решения проблемы собственных значений используются ЭВМ-программы. Кроме того, результаты, полученные при прямом анализе спиновых систем, всегда проверяются при сравнении расчетного спектра с экспериментальным. Это сравнение является строгим тестом, так как можно моделировать и форму линии сигнала ЯМР. [34]
Восприимчивость, полученная таким образом, будет эквивалентна восприимчивости Лондона. Решение получающейся проблемы собственных значений представляет некоторые затруднения, так как матрица гамильтониана уже не является симметричной, но является эрмитовой с комплексными недиагональными элементами. Прямой подход состоит в применении метода диагонализации, который обсуждается Дэвисом. [35]
Опытный пользователь может успешно собрать модули для обработки почти любой конкретной матрицы. Управляющая программа была составлена для IBM OS / 360 - 370, которая в действительности представляет собой проблемно-ориентированный язык специального назначения для решения алгебраической проблемы собственных значений. [36]
Отсюда можно определить спектр собственных значений и, подставляя их в систему уравнений, найти улучшенный набор волновых функций. Новый набор волновых функций применяют для построения нового гамильтониана ( 13) и процесс итерации повторяют до тех пор, пока не будет достигнуто самосогласования. Уравнение ( 22) называют вековым ( секулярным) уравнением, а соответствующий детерминант - вековым детерминантом. Существуют и другие методы решения проблемы собственных значений; они будут обсуждены позднее. [37]
Сначала представлены те разделы матричной теории и теории возмущений, которые связаны с численными методами. Затем проводится анализ ошибок округления. В основной части книги мастерски и детально рассматриваются все важные подходы к решению проблемы собственных значений. Анализ охватывает как точную арифметику, так и арифметику с шумами. Различные важные примеры иллюстрируют зачастую поразительные эффекты ошибок округления. Эффективное использование обратного анализа ошибок, в котором Уйлкинсон заслуженно является признанным авторитетом, позволило просто и убедительно объяснить поведение каждого численного метода. [38]
Как видно из рис. 3.15, спектр собственных колебаний цилиндра имеет характерный для оболочек вид, при котором существует область сгущения и нижним частотам соответствуют формы с несколькими полуволнами по окружности. Точность вычисления частот и форм собственных колебаний существенным образом зависит от подробности конечно элементного представления расчетной области. Как и в предыдущем случае, правильно определяются те из форм, которые могут быть реализованы на данной дискретной ( составленной из элементов) схеме. Это обстоятельство важно с точки зрения обоснованного выбора числа р п в приведенном выше алгоритме решения частной проблемы собственных значений. [39]
Как видно из рис. 3.15, спектр собственных колебаний цилиндра имеет характерный для оболочек вид, при котором существует область сгущения и нижним частотам соответствуют формы с несколькими полуволнами по окружности. Точность вычисления частот и форм собственных колебаний существенным образом зависит от подробности конечноэлементного представления расчетной области. Как и в предыдущем случае, правильно определяются те из форм, которые могут быть реализованы на данной дискретной ( составленной из элементов) схеме. Это обстоятельство важно с точки зрения обоснованного выбора числа р я в приведенном выше алгоритме решения частной проблемы собственных значений. [40]