Cтраница 3
В качестве уравнения движения жидкости вокруг капли Линдблад и Семонин использовали выражение, полученное Проудманом и Пирсоном [474] для малых чисел Рейнольдса комбинированием решения Осеена для далеких от капли областей с решением Стокса для областей вблизи капли. На рис. 9 приведены результаты вычислений для нейтральных капель радиусом 30 мкм, соударяющихся с капельками радиусом 5, 7 5, 10 и 12 5 мкм. [31]
Обтекание сферы при малых, но конечных значениях чисел Re исследовалось Уайтхедом [2], который к решению уравнений На-вье - Стокса применил метод последовательных приближений, разлагая поле потока в ряд по степеням критерия Рейнольдса. Решение Стокса уже непригодно в тех областях, где Re имеет порядок единицы. Уравнения Озеена имеют решение, пригодное во всем поле течения при ReC 1 и совпадающее вблизи сферы с решением Стокса. [32]
Приблизительное решение целого ряда задач может быть получено при линеаризации уравнений Навье - Стокса. Например, влияние инерции в предыдущей задаче может быть частично учтено, если принять конвективные ускорения в направлениях х, у и z равными соответственно Udu / dx, Udu / дх и Udw / дх. Осин и Лэм воспользовались этим подходом к решению Стокса для доказательства того, что характер движения в следе отличается от характера движения перед препятствием. Можно показать, что решение Осина - Лэма дает лучшее приближение, чем решение Стокса, всюду, за исключением области поверхности шара, но и здесь, хотя степень приближения уменьшается, однако все еще достаточна. Довольно любопытно, что решение Осина - Лэма отличается от решения Стокса только в определении характера потока; закон Стокса, данный уравнением ( 153), совсем не меняется из-за частичного учета влияния инерции. Это возможно объясняется тем фактом, что несоответствие формы потока решению Стокса на больших расстояниях от шара не оказывает существенного влияния на характер движения в непосредственной близости от шара, так что абсолютное значение ошибки вследствие пренебрежения влиянием инерции в отдаленных областях мало. Чтобы избежать использования того же самого явления потока для иллюстрации метода линеаризации, решение Осина - Лэма детально не будет рассматриваться. Вместо этого используется приближенное решение для ламинарного следа. [33]
При больших окружных скоростях вращения цапфы и при высоких температурах масла ( малая вязкость) приведенное число Рейнольдса Re, определяемое формулой (6.14), может стать близким к единице или даже больше единицы. Это означает, что теперь силы инерции сравнимы с силами трения, а потому выводы, сделанные на основе изложенной теории, становятся сомнительными. Можно попытаться распространить теорию на более высокие значения приведенного числа Рейнольдса следующим образом: использовав полученное выше решение, вычислить отброшенные ранее инерционные члены и затем найти улучшенное решение, учтя инерционные члены как известные активные силы. Такой способ сходен со способом, примененным Озееном с целью улучшить решение Стокса для обтекания шара. Соответствующие вычисления выполнены В. [34]
Приблизительное решение целого ряда задач может быть получено при линеаризации уравнений Навье - Стокса. Например, влияние инерции в предыдущей задаче может быть частично учтено, если принять конвективные ускорения в направлениях х, у и z равными соответственно Udu / dx, Udu / дх и Udw / дх. Осин и Лэм воспользовались этим подходом к решению Стокса для доказательства того, что характер движения в следе отличается от характера движения перед препятствием. Можно показать, что решение Осина - Лэма дает лучшее приближение, чем решение Стокса, всюду, за исключением области поверхности шара, но и здесь, хотя степень приближения уменьшается, однако все еще достаточна. Довольно любопытно, что решение Осина - Лэма отличается от решения Стокса только в определении характера потока; закон Стокса, данный уравнением ( 153), совсем не меняется из-за частичного учета влияния инерции. Это возможно объясняется тем фактом, что несоответствие формы потока решению Стокса на больших расстояниях от шара не оказывает существенного влияния на характер движения в непосредственной близости от шара, так что абсолютное значение ошибки вследствие пренебрежения влиянием инерции в отдаленных областях мало. Чтобы избежать использования того же самого явления потока для иллюстрации метода линеаризации, решение Осина - Лэма детально не будет рассматриваться. Вместо этого используется приближенное решение для ламинарного следа. [35]
Обтекание сферы при малых, но конечных значениях чисел Re исследовалось Уайтхедом [2], который к решению уравнений На-вье - Стокса применил метод последовательных приближений, разлагая поле потока в ряд по степеням критерия Рейнольдса. Решение Стокса уже непригодно в тех областях, где Re имеет порядок единицы. Уравнения Озеена имеют решение, пригодное во всем поле течения при ReC 1 и совпадающее вблизи сферы с решением Стокса. [36]
Схема Уайтхеда обладает тем очевидным преимуществом, что теперь нужно решать только линейное неоднородное уравнение вместо нелинейного уравнения. Это дает также идею итерационной схемы для получения более высоких приближений. Более того, можно показать, что следующее приближение, скажем v2, становится бесконечным вдали от сферы. Невозможность продолжить решение Стокса при помощи только что намеченной итерационной схемы известна как парадокс Уайтхеда. [37]
Приблизительное решение целого ряда задач может быть получено при линеаризации уравнений Навье - Стокса. Например, влияние инерции в предыдущей задаче может быть частично учтено, если принять конвективные ускорения в направлениях х, у и z равными соответственно Udu / dx, Udu / дх и Udw / дх. Осин и Лэм воспользовались этим подходом к решению Стокса для доказательства того, что характер движения в следе отличается от характера движения перед препятствием. Можно показать, что решение Осина - Лэма дает лучшее приближение, чем решение Стокса, всюду, за исключением области поверхности шара, но и здесь, хотя степень приближения уменьшается, однако все еще достаточна. Довольно любопытно, что решение Осина - Лэма отличается от решения Стокса только в определении характера потока; закон Стокса, данный уравнением ( 153), совсем не меняется из-за частичного учета влияния инерции. Это возможно объясняется тем фактом, что несоответствие формы потока решению Стокса на больших расстояниях от шара не оказывает существенного влияния на характер движения в непосредственной близости от шара, так что абсолютное значение ошибки вследствие пренебрежения влиянием инерции в отдаленных областях мало. Чтобы избежать использования того же самого явления потока для иллюстрации метода линеаризации, решение Осина - Лэма детально не будет рассматриваться. Вместо этого используется приближенное решение для ламинарного следа. [38]
Распределение скоростей жидкости вокруг шара при различных числах Рейнольдса в общем виде не найдено для стационарного случая. При оседании растущего кристалла процесс заведомо не стационарен. Рассмотрим случай малых чисел Рейнольдса, когда инерционными свойствами жидкости пренебрегают. В нашем случае, движение при малых числах Рейнольдса позволяет пренебречь инерционными свойствами жидкости, связанными с изменением скорости движения кристалла. Будем считать, что распределение скоростей жидкости в каждый данный момент времени удовлетворяет решению Стокса [13] во всей области движения вне кристалла, за исключением приповерхностного слоя, где в тепловом и диффузионном пограничных слоях на распределение скоростей по Стоксу накладывается радиальное течение жидкости ( 5), связанное с разностью плотностей твердой и жидкой фаз. [39]
Приблизительное решение целого ряда задач может быть получено при линеаризации уравнений Навье - Стокса. Например, влияние инерции в предыдущей задаче может быть частично учтено, если принять конвективные ускорения в направлениях х, у и z равными соответственно Udu / dx, Udu / дх и Udw / дх. Осин и Лэм воспользовались этим подходом к решению Стокса для доказательства того, что характер движения в следе отличается от характера движения перед препятствием. Можно показать, что решение Осина - Лэма дает лучшее приближение, чем решение Стокса, всюду, за исключением области поверхности шара, но и здесь, хотя степень приближения уменьшается, однако все еще достаточна. Довольно любопытно, что решение Осина - Лэма отличается от решения Стокса только в определении характера потока; закон Стокса, данный уравнением ( 153), совсем не меняется из-за частичного учета влияния инерции. Это возможно объясняется тем фактом, что несоответствие формы потока решению Стокса на больших расстояниях от шара не оказывает существенного влияния на характер движения в непосредственной близости от шара, так что абсолютное значение ошибки вследствие пренебрежения влиянием инерции в отдаленных областях мало. Чтобы избежать использования того же самого явления потока для иллюстрации метода линеаризации, решение Осина - Лэма детально не будет рассматриваться. Вместо этого используется приближенное решение для ламинарного следа. [40]