Cтраница 2
В 4.2.1 был приведен пример решения уравнений Эйлера, которое одновременно удовлетворяет и уравнениям Навье-Стокса. [16]
Граничные условия, которым должно удовлетворять решение уравнения Эйлера - Трикоми на ударной волне, заключаются в следующем. [17]
Следовательно, после того как найдено решение уравнений Эйлера, предстоит еще убедиться, что функционал при этом принимает экстремальное значение и что оно нужного типа. Лишь после подобной проверки можно считать, что оптимальная задача решена до конца. [18]
Навье - Стокса, но не решения уравнений Эйлера. [19]
Предположим, что кривая hb определяется решением уравнений Эйлера задачи и дает двусторонний экстремум. Покажем, что при такой схеме количество произволов в определении функций совпадает с количеством условий. [20]
Как известно, экстремалями квадратичного функционала являются решения уравнения Эйлера - Пуассона. [21]
Другими словами, возможны случаи, когда решение уравнений Эйлера дает не экстремаль, а линию иной природы, что можно сравнить с решением уравнения dx / dt 0, определяющего не только экстремальные точки функции х, но также и точки перегиба, в которых производная обращается в нуль. [22]
Другими словами, возможны случаи, когда решение уравнений Эйлера дает не экстремаль, а линию иной природы, что можно сравнить с решениями уравнения dxldt - О, определяющего экстре - М1льные точки функции х, среди которых могут встречаться точки перегиба или точки более сложного типа, если функция х зависит о нескольких переменных. [23]
Гарантировать оптимальность процессов, полученных в результате решения уравнения Эйлера (7.27) или системы дифференциальных уравнений (7.37) с граничными условиями (7.3) в обоих случаях, вообще говоря, нельзя, так как при этом выполнены только необходимые условия. Чтобы ответить на вопрос, является ли найденный процесс оптимальным, необходимо провести дальнейшее исследование. [24]
Он выделил класс ситуаций, когда геодезические ( решения уравнений Эйлера) не имеют сопряженных точек. Типичными примерами такого рода служат течения с полями скоростей - простыми гармониками на торах. Наличие же сопряженных точек у геодезических групп диффеоморфизмов, сохраняющих объем некоторого компактного многообразия, связано обычно с существованием двумерных направлений, проходящих через начальное поле скоростей геодезической, с положительными секционными кривизнами. [25]
Поскольку решение вариационной задачи связано с получением и решением уравнения Эйлера, которое, в свою очередь, может существовать лишь в том случае, когда отыскиваемая экстремаль допускает свободное двухстороннее варьирование, наличие ограничений (V.260) и ( V261) может привести к тому, что в некоторых случаях вообще невозможно написать данное уравнение. При этом ограничение типа ( V261) еще позволяет иногда использовать аппарат вариационного исчисления поиском решения в виде функции, по-разному определенной в ряде интервалов, на которых x ( f) х [, х ( t) - х 2 или х г х ( t) C х 2, как было сделано при расчете оптимального температурного профиля в реакторе. [26]
Поскольку решение вариационной задачи связано с получением и решением уравнения Эйлера, которое, в свою очередь, может существовать лишь в том случае, когда отыскиваемая экстремаль допускает свободное двустороннее варьирование, наличие ограничений ( V, 260) и ( V, 261) может привести к тому, что в некоторых случаях вообще невозможно написать данное уравнение. [27]
Легко убедиться, что при любых А это есть решение уравнения Эйлера. [28]
Обобщение на произвольные уравнения порядка п второго метода отыскания решений уравнения Эйлера ( § 5) называется методом Фробениуса. [29]
Последнее условие приводит к тому, что из общего класса решений уравнения Эйлера ( 6) можно выбрать лишь некоторую часть. [30]