Cтраница 2
В ряде работ по уравнениям в частных производных [29 - 33] при значительно менее жестких условиях доказано существование решения уравнения Гамильтона - Якоби, правда в некотором обобщенном смысле. [16]
Как известно из классической механики, классические траектории движения являются характеристиками уравнения Гамильтона - Якоби, и решения уравнения Гамильтона - Якоби можно получить, проинтегрировав лагранжиан вдоль классических траекторий. [17]
Как известно из классической механики, классические траектории движения являются характеристиками уравнения Гамильтона - Якоби, и решения уравнения Гамильтона - Якоби можно получить, проинтегрировав лагранжиан вдоль классических траекторий. [18]
Здесь предлагается метод для явного определения производящей функции, из которой можно получить преобразование, позволяющее найти решения уравнений Гамильтона. Искомое преобразование должно быть частным видом ранее рассмотренного, ибо при этом будет требоваться, чтобы все пространственные координаты и импульсы были бы постоянными. [19]
Тогда х, р - произвольные постоянные, а КП х, р - х, р является решением уравнений Гамильтона. [20]
Обратно, пусть Н р р2 / 2 - q qi - 2g - Можно показать, что все решения уравнений Гамильтона с этим гамильтонианом являются мероморфными функциями, но не существует интеграла в виде полинома по р, д, независимого от Н ( см, [83], гл. [21]
Очевидно, практическое применение соотношений (7.159) для расчета функции / невозможно, хотя бы в силу необходимости для этого нахождения решений уравнений Гамильтона (7.155) для макроскопической системы. В дальнейших рассуждениях используются лишь наиболее общие свойства функции /, не требующие знания ее явного вида. [22]
Описание многочастичных систем на основе решения уравнения Шредингера является столь же безнадежной задачей, как и описание классических многочастичных систем на основе решения уравнений Гамильтона. С математической точки зрения ясно, что точные решения уравнения Шредингера в большинстве случаев не могут быть получены в явном виде. Физическая же причина невозможности динамического описания состоит в том, что невозможно экспериментально привести макроскопическую систему в чистое квантовое состояние. Кроме того, реальные системы не являются полностью изолированными и в гамильтониане никогда не удается учесть вклад всех степеней свободы, связанных с внешним воздействием на систему. Поэтому в квантовой статистической механике приходится вводить ансамбли более общего типа, чем чистые ансамбли, а именно, - смешанные ансамбли ( или смеси), которые основаны на неполном наборе данных о системе. [23]
Таким образом, мы доказали, что функция W, которая лишь на аддитивную функцию времени отличается от производящей функции отображения ( 33), определяемого решениями уравнений Гамильтона, является полным интегралом уравнения Га-мильтона - Якоби. [24]
В гамильтоновой механике особую роль играют группы симметрии, порождаемые гамильтоновыми системами: если функции Н и F находятся в инволюции, то фазовый поток гамильтоновой системы с гамильтонианом F переводит решения уравнений Гамильтона с гамильтонианом Н в решения тех же уравнений. Таким образом, задача о группах симметрии уравнений Гамильтона содержит как частный случай задачу о первых интегралах. [25]
Каждая точка ( гь, о) G 7 определяет единственную регулярную кривую ( z ( t), t) в М х JR, где z ( -) - решение уравнений Гамильтона с начальным условием z ( to) ZQ. Совокупность этих кривых заметает цилиндрическую поверхность П в М х JR, которая называется трубкой траекторий. [26]
Уравнение ( 7.35) является уравнением в частных производных первого порядка; оно называется уравнением Гамильтона - Якоби. Решение уравнения Гамильтона - Якоби представляет известные трудности, но в принципе предполагается возможным. [27]
Уравнение ( 13) для дифференциальных игр является аналогом уравнения Гамильтона - Якоби для задач вариационного исчисления. В классических работах по вариационному исчислению существование решения уравнения Гамильтона - Якоби показано в предположении существования гладкого поля экстремалей. [28]
Первый шаг к решению этой проблемы был сделан Эпштейном) в 1916 г. в работе об эффекте Штарка. Эпштейн заимствовал из астрономии метод, много раз прилагавшийся для решения уравнения Гамильтона - Якоби и известный под названием разделения переменных. Этот метод ведет прямо к определению энергетического уровня без промежуточных вычислений орбит. [29]
Описание динамики физических систем составляет основную задачу механики. Существует ряд достаточно общих способов, позволяющих в некоторых случаях построить решение уравнений Гамильтона. Однако это возможно далеко не всегда. В большинстве случаев уравнения ( 1) оказываются неийтегрируемыми в элементарных функциях. Тем не менее часто удается получить достаточно сведений относительно поведения системы, не интегрируя полностью ее уравнений, а отыскивая интегралы движения, т.е. функции, которые остаются постоянными при движении: / ( / P) const. [30]