Cтраница 2
Мы уже отмечали в разделе 13.4, что масштабный аргумент раздела 7.2 запрещает существование инстантонных решений в четырехмерных теориях с механизмом Хиггса. Тем не менее, евклидовы конфигурации с ненулевым топологическим числом Q и конечным действием существуют, и можно поставить вопрос о вкладе секторов с Q Ф О в функциональный интеграл. [16]
Относительно какой подгруппы этой группы 5О ( 4) х 517 ( 2) инвариантно инстантонное решение. [17]
Так как число параметров меньше чем ( 8q - 3), решение т Офта не может быть полным инстантонным решением. Полное инстантонное решение реализуется в конструкции Атьи - Дринфельда - Хит-чина - Манина ( АДХМ), которую мы опишем ниже. [18]
В § 45 показано, что туннелирование из состояния п в состояние п, где у - целое число, осуществляется через инстантонные решения. Может показаться странной необходимость подробного обсуждения этой проблемы, поскольку точные решения уже найдены. Ответ на этот вопрос состоит в требовании конечности действия, при котором такие решения искались. [19]
Отметим еще, что вычисление квазиклассической экспоненты для расщепления уровней в квантовой механике многих переменных ( см. задачу 11) также сводится к нахождению инстантонного решения с только что описанными свойствами, и вычислению евклидова действия. [20]
Из тождества Бьянки (4.556) следует, что ( анти) самодуальные формы связности удовлетворяют уравнению движения ( 4.55 а) с j О, т.е. такие формы связности являются инстантонными решениями. [21]
Так как число параметров меньше чем ( 8q - 3), решение т Офта не может быть полным инстантонным решением. Полное инстантонное решение реализуется в конструкции Атьи - Дринфельда - Хит-чина - Манина ( АДХМ), которую мы опишем ниже. [22]
Эти ( 8q - 3) параметров являются по существу степенями свободы инстантонных решений. [23]
Вейля (17.17), (17.18) в каком-нибудь ( все равно каком) внешнем калибровочном поле с топологическим числом Q. Мы рассмотрим случай Q 1, когда в качестве внешнего поля можно взять инстантонное решение евклидовых уравнений Янга - Миллса. [24]
Вейля (4.17), (4.18) в каком-нибудь ( все равно каком) внешнем калибровочном поле с топологическим числом Q. Мы рассмотрим случай Q 1, когда в качестве внешнего поля можно взять инстантонное решение евклидовых уравнений Янга - Миллса. [25]
Коммутативная теория Янга - Миллса в четырехмерном пространстве инвариантна относительно масштабных преобразований, поэтому в инстантонном решении имеется произвольный параметр р - размер инстантона. В выражении для энергии (8.77) в некоммутативной теории присутствует размерный параметр в, поэтому масштабная инвариантность отсутствует. Можно было бы ожидать, что из-за этого произвол в размере инстантона пропадает, и минимум энергии достигается либо на инстантоне размера порядка / 0, либо на инстантоне бесконечного размера. Мы увидим, что это не так: в некоммутативной теории инстантоны по-прежнему характеризуются произвольным параметром р, имеющим размерность длины, то есть размер инстантона произволен. [26]
На этом завершается наше обсуждение инстантонных решений системы Янга - Миллса. Калибровочные теории в последнее время являются объектом интенсивных исследований, и относительно их самих и их инстантонных решений известно гораздо больше даже на классическом уровне. Наше обсуждение в лучшем случае имеет характер введения. Так, важное свойство инстантонов - поведение при конформных преобразованиях - не было рассмотрено. Это свойство мы только поверхностно затронули, отметив инвариантность системы Янга - Миллса при растяжениях. [27]
Этот результат может быть также получен с использованием с самого начала инстантонов. Поскольку классическое уравнение для ЗИП и ЧНО одно и то же, в обоих случаях имеют место одни и те же инстантонные решения. В случае ЧНО многоинстантон-ные решения должны пониматься в том смысле, что частица несколько раз обходит окружность, пока т меняется от - оо до оо. Мы можем повторить такое же вычисление инстантон-ного газа, как для ЗИП, с единственной разницей, что наложенное в (10.19) условие пг - п2 1 может быть опущено. [28]
В промежутке между этими вакуумами существует область, в которой тензор поля Ff. Таким образом, янг-миллсов-ский вакуум является бесконечнократно вырожденным, он состоит из бесконечного числа гомотопически неэквивалентных вакуумов. Инстантонное решение отвечает переходу из вакуума одного класса в вакуум другого класса. Физика выходит на сцену, когда мы задаемся вопросом, чему равна амплитуда этого перехода. С классической точки зрения она безусловно равна нулю, так как между двумя вакуумами имеется энергетический горб. Однако при кваи-товомеханическом рассмотрении мы должны учитывать эффект прохождения через барьер. [29]
На основе соображений, изложенных в главе 11, можно ожидать, что ин-стантоны в теории Янга - Миллса описывают некоторый процесс туннелирования из основного состояния. Возможность распадной интерпретации ( типа встречавшейся в разделе 11.2 и главе 12) нужно сразу исключить, поскольку классический вакуум в теории - конфигурация А 0 - имеет наименьшую возможную классическую энергию, равную нулю. Инстантонное решение само должно нам подсказать, между какими именно состояниями происходит туннелирование: мы видели в разделе 11.3, что начальное и конечное состояния даются асимптотиками евклидова решения при г - - оо и т - оо соответственно, где т - евклидово время. Таким образом, нас интересуют асимптотики инстантона при т - оо. [30]