Cтраница 3
Данный раздел подразделяется на четыре подраздела. В первом подразделе мы вводим тензоры т Офта г и fj вместе с различными тождествами, которым они удовлетворяют. Тензоры г ] и г особенно полезны для построения явных инстантонных решений. Далее мы представляем исходное инстантонное решение Белавина - Полякова - Шварца - Тюпкина ( БПШТ) для q 1 и обсуждаем различные его особенности. Здесь же мы описываем различные свойства решения т Офта, в частности почему оно не является полным решением. [31]
Они не являются истинными вакуумами, поскольку они туннелируют один в другой. По крайней мере в квазиклассическом разложении мы это можем предвидеть, поскольку система Янга-Миллса допускает инстантонные решения с конечным действием. [32]
Пенроуза конца 60 - х - начала 70 - х гг. Согласно первоначальному замыслу автора, теория твисторов была призвана послужить основой такого математического аппарата, в котором комплексная структура квантовой теории поля непосредственно вытекала бы из комплексной структуры, ассоциируемой с самим пространством-временем. И хотя до сих пор нет единого мнения, следует ли относиться к теории твисторов как к более адекватной основе построения будущей полной квантовой теории фундаментальных взаимодействий или как к мощному математическому инструменту анализа обычных теорий, твисторные методы завоевали заслуженную популярность и признание в современной теоретической физике. С помощью твисторных методов были получены нетривиальные результаты в теории полей Янга - Миллса ( полное описание инстантонных решений, построение монополей); были развиты способы построения некоторых классов решений уравнений Эйнштейна; предложены новые пути решения проблемы энергии в общей теории относительности. В данной книге, однако, не затрагивается вся широкая тематика, связанная с применением твисторов; авторы ограничиваются теми ее аспектами, которые непосредственно связаны с более традиционными спинорными методами и проблематикой общей теории относительности. [33]
Однако существует другое семейство скалярнополевых теорий также в ( 1 1) измерениях, которые обладают всеми упомянутыми выше свойствами О ( З) - модели, но в то же время дают ин-стантонные решения даже для произвольно большого числа полей N. Мы увидим, что для N 1 СРг - модель сводится к О ( З) - модели. V СЯ - модель является лучшим обобщением, чем О ( Щ - модель, в том смысле, что она продолжает давать инстантонные решения. Несмотря на то, что эта модель предложена недавно, для нее уже проведена большая работа в силу ее интересных свойств. Наше рассмотрение будет аналогично проведенным в предыдущих разделах. [34]
Гораздо более серьезное следствие уравнения (8.2.13) заключается в следующем. Если явно вычислить плотность действия y ( - i) для / 1, то обнаруживается, что имеется очень много сильных особенностей - особенностей, которые не являются калибровочными артефактами ( как было в случае с решением т Офта в разд. В настоящий момент совсем не ясно, как справиться с такими особенностями и, следовательно, как связан анзац АУ с конструкцией АДХМ, которая, как известно, дает полное инстантонное решение. [35]
Данный раздел подразделяется на четыре подраздела. В первом подразделе мы вводим тензоры т Офта г и fj вместе с различными тождествами, которым они удовлетворяют. Тензоры г ] и г особенно полезны для построения явных инстантонных решений. Далее мы представляем исходное инстантонное решение Белавина - Полякова - Шварца - Тюпкина ( БПШТ) для q 1 и обсуждаем различные его особенности. Здесь же мы описываем различные свойства решения т Офта, в частности почему оно не является полным решением. [36]
Этот раздел разбит на три подраздела. В первом подразделе описывается представление Янга автодуальных калибровочных полей, которое является отправной точкой для всех рассуждений, связанных с ПБ. Затем мы вводим анзацы Атьи - Уорда ( АУ) в контексте инстантонной проблемы. Исторически анзацы Атьи - Уорда были предложены как способ образования полного инстантонного решения, но из-за проблем глобальной сингулярности от них отказались в пользу более удобных методов алгебраической геометрии, которые в конечном счете привели к конструкции АДХМ. Наконец, мы опишем совсем недавно открытое ПБ в явно калибровочно инвариантном представлении автодуальных калибровочных полей. К сожалению, подобно конструкции АУ, это новое ПБ при глобальном рассмотрении также имеет серьезные проблемы сингулярности - черта, которая, по-видимому, характерна для всех таких преобразований. [37]
Таким образом, около каждой из сингулярностей jV - инстантонное решение, так же как одноинстантонное решение (4.69) около своего центра, ведет себя как чистая калибровка. Действительно, калибровочная функция U 1 та же, что и в одноинстантонном случае. Следовательно, W-инстантонное решение можно считать набором N отдельных инстантонов, формы которых при любых х поляризованы вследствие влияния остальных инстантонов. Вблизи ядра t - го инстантона ( х ж at) влияние остальных инстантонов пренебрежимо мало, и jV - инстантонное решение представлено в основном этим отдельным инстантоном. [38]
Может возникнуть вопрос: почему нас должна интересовать эта евклидова версия, если физически интересные системы погружены в пространство-время Минковского. Ответ будет дан в гл. Мы увидим, что некоторые свойства квантовополевых теорий в пространстве-времени Минковского удобно изучать, начиная с классических решений евклидовой версии их полевых уравнений. Одним из этих свойств является замечательный феномен квантового туннелирования между вырожденными классическими основными состояниями. Евклидовы инстантонные решения так же важны для квантовых полевых теорий в пространстве-времени Минковского, как классические солитонные решения. [39]
Мы разложим поля в окрестности экстремумов действия, которые удовлетворяют классическим евклидовым полевым уравнениям. Решениями является совокупность инстантонов и антиинстантонов этой модели. Первоначально они возникли в гл. Мы не получили точных решений, но в работе Таубса [325] показано, что они существуют. Они имеют конечное действие и гомотопический индекс, задаваемый в точности выражением (10.54) для Q. Получив эту информацию, мы можем осуществить приближение разреженного инстантонного газа совершенно так же, как это мы сделали для ЗПП. То обстоятельство, что мы не знаем точного инстантонного решения, как и в ЗПП, не имеет значения для наших целей. [40]