Cтраница 3
О 2я - периодических решениях уравнения (2.3.5) известно следующее. Доказано [66], что для всех значений параметров п2 и е, заполняющих область Е ( п2 - 3; 0 1), существует по крайней мере одно нечетное 2я - периодическое решение. [31]
Покажем, что если периодическое решение уравнения (9.13) при изменении коэффициентов Pj ( t ] исчезает, то оно приближается к особому периодическому решению. [32]
Пуанкаре, она позволяет представить периодическое решение уравнения (4.4), если оно существует, в форме ряда, каждый член которо. [33]
В этом случае для построения периодических решений уравнения (7.172) может быть применен следующий прием. [34]
В некоторых случаях начальные значения периодических решений уравнения (7.1) можно найти точно. [35]
В работе [6] доказано, что периодическое решение уравнения ( 22) может быть разло жено в ряд Фурье, содержащий только косинусы кратных гармоник. [36]
Если р есть отличное от постоянной периодическое решение уравнения (10.2.1), то ргт О для всех / и орбита Г И pt решения р есть замкнутая кривая. [37]
Теорема 11.4.4. Для любого р4 существует периодическое решение уравнения (11.4.1) с периодом р, отличное от постоянного. [38]
В работе [6] доказано, что периодическое решение уравнения ( 22) может быть разло жено в ряд Фурье, содержащий только косинусы кратных гармоник. [39]
Неоднократно предпринимались и предпринимаются попытки выделить периодические решения уравнения ( 1) среди прочих решений. Некоторые успехи были достигнуты в работах Хилла ( Hill), Пуанкаре ( Poincare), Биркгоффа ( Birk-hoff) и др. Эта задача и будет единственной темой последующего изложения. Исследование периодических решений уравнения ( 1) представляет интерес по целому ряду причин. Прежде всего, поскольку ограниченная задача трех тел приводит к неинтегрируемым динамическим уравнениям следует приветствовать каждый шаг в направлении лучшего ее понимания и каждое новое описание ее общего решения, совместимого с частными решениями. Во-вторых, недавние достижения Колмогорова, Мозера ( Moser) и Арнольда в области почти периодических движений и устойчивости привели к пониманию поведения динамических систем в окрестности их периодических движений. И в-третьих, некоторые периодические решения уравнения ( 1) представляют большой практический интерес для динамической астрономии и механики космического полета. [40]
Мы упоминали еще две теоремы существования непостоянных периодических решений уравнения Льенара в теоремах 8.7.1 и 8.9.2. Однако, в то время как в теореме 8.7.1 утверждалась единственность периодического решения, в теоремах 8.9.1, 9.5.1 и 9.5.2 она не утверждается. Здесь теорема единственности выглядит так. [41]
Обсудим теперь, как будут вести себя периодические решения уравнений (5.5.6) с уменьшением скорости с. При слишком малых скоростях время движения по ветвям изоклины оказывается сравнимым с длительностями фронта и спада, и поэтому проведенное рассмотрение оказывается несправедливым. [42]
Теорема 7.2.8. Если п - 1 мультипликаторов периодического решения уравнения (7.2.15) имеют модули, меньшие единицы, то это решение устойчиво по Ляпунову. [43]
Решение, ( б) Одно из простейших периодических решений уравнения 0 ( ( tOxz имеет вид e ( t, х) А е 1 sin kx, где А - константа. [44]
Допустим, что ы ( ф) - известное периодическое решение уравнения (2.2), u N ( ( p) SNu ( ( p) и u, - соответствующий вектор. [45]