Cтраница 1
Локализованные решения этой системы, если они есть, должны асимптотически стремиться к ф ( x, t) 0 при х - х для любого заданного I. Производные dj / dx и d ldt в этом пределе также должны обращаться в нуль. [1]
Локализованные решения классических уравнений поля, чье существование обусловлено нелинейностью этих уравнений, важны не только для описания частицеподобных состояний - солитонов. Такие решения возникают и при исследовании совершенно другого класса вопросов. В теориях с малой константой связи эти процессы могут быть исследованы квазиклассическим методом, при этом ключевую роль играют локализованные решения уравнений поля в евклидовом пространстве-времени - решения инстантонного типа. Они определяют лидирующую квазиклассическую экспоненту в вероятности туннелирования. Еще один класс решений - сфалероны - определяет высоту барьера, разделяющего классически стабильные состояния поля. [2]
Локализованные решения классических уравнений поля, чье существование обусловлено нелинейностью этих уравнений, важны не только для описания части-цеподобных состояний - солитонов. Такие решения возникают и при исследовании совершенно другого класса вопросов. В теориях с малой константой связи эти процессы могут быть исследованы квазиклассическим методом, при этом ключевую роль играют локализованные решения уравнений поля в евклидовом пространстве-времени - решения инстантонного типа. Они определяют лидирующую квазиклассическую экспоненту в вероятности туннелирования. Еще один класс решений - сфалероны - определяет высоту барьера, разделяющего классически стабильные состояния поля. [3]
Качественный анализ областей существования локализованных решений был выполнен в работе Хаким и др. ( 1990) для всей области существования коэффициентов от нуля до бесконечности. Он позволяет получить точные решения уравнения пятого поряядка. [4]
Конечно, сумма двух локализованных решений типа ( 14) [ с соотношениями ( 16) и ( 20); параметр р может принимать два различных значения для этих двух решений ] дает приближенное решение уравнения ( 19), пока они локализованы далеко друг от друга, так что их перекрыванием можно пренебречь. Но теперь уже нельзя сказать, что решение, первоначально заданное в виде суммы двух удаленных друг от друга уединенных волн, движущихся с разными скоростями, после их сближения даст в отдаленном будущем сумму тех же уединенных волн; теперь происходит как бы неупругое столкновение уединенных волн, при котором могут измениться их свойства и возникнуть другие уединенные волны с выделением излишка в виде диспергирующей части. [5]
Термин инстантон относится к локализованным решениям с конечным действием классических евклидовых уравнений поля. [6]
Он представляет собой полную энергию локализованного решения. [7]
В приведенном обсуждении предполагается, что локализованные решения с конечной энергией уравнения (8.42) существуют и могут быть получены. Оно представляет собой статическое нелинейное волновое уравнение для действительного поля р ( х) с потенциалом 1 / афф ( р) U ( р) - 1 / 2 v2p2 - Напомним, что такие уравнения мы рассматривали в гл. Без потери общности можно считать, что U ( ф) равно нулю в абсолютных минимумах. Для того чтобы заряд (8.43) был конечен, поле р ( х) ф ( х) должно исчезать на пространственной границе. [8]
Используя асимптотические выражения, центральную часть локализованного решения можно найти методом стрельбы, как это было сделано в приведенных ниже примерах. [9]
В случае уравнения третьего порядка такая подстановка позволяет получить все локализованные решения. Но в случае уравнения пятого порядка предположение (13.9) является ограничением для функции / ( т), так как чирп может иметь более сложную зависимость от г. Однако несмотря на это, такой анзатц позволяет все-таки построить некоторые классы решений в аналитическом виде. [10]
Итак, в некоторых областях пространства параметров существуют четыре типа устойчивых локализованных решений: простое, составное, движущееся влево и вправо. Это позволяет рассматривать три возможных типа их парных взаимодействий - взаимодействие движущегося импульса с простым, составным и другим движущимся импульсом. [11]
Теперь рассмотрим другие плоские сечения тех областей пространства параметров, где найдены устойчивые локализованные решения. На рис. 13.15 а показаны области существования устойчивых импульсов на плоскости ( г /, б) при фиксированных / л, 5 и / 3, конкретные значения которых указаны на рисунке. Видно, что ширина полосы устойчивости с ростом г / быстро растет. Пунктиром на рис. 13.15 показана линия, на которой при тех же параметрах существуют точные аналитические решения. Довольно интересно, что эта линия тоже почти параллельна верхней границе области устойчивых импульсов, но смещена от нее на некоторое расстояние. Это означает, что при значении параметров между этими линиями аналитические решения неустойчивы. [12]
Теория возмущений позволяет сделать вывод, что в общем случае УГЛ третьего и пятого порядков имеют стационарные локализованные решения с фиксированным набором параметров. Диссипативные члены в (13.1) приводят к нарушению инвариантности относительно преобразования масштаба, связанной с законом сохранения энергии. Любое локализованное начальное условие вблизи особой точки будет сходиться к устойчивому стационарному решению. Это позволяет сделать вывод, важный для всех оптических линий связи, о том, что все импульсы в системе с накачкой и потерями будут иметь примерно одну и ту же амплитуду, ширину и скорость ( Кодама и Хасегава, 19926), и поток информации не будет подвержен слишком большим искажениям. [13]
В пионерских работах т Хофта [330] и Полякова [283] было показано, что такая модель имеет несингулярное локализованное решение, обладающее некоторыми замечательными свойствами. [14]
Традиционно считается, что если коэффициент / 3 перед членом со второй производной в правой части уравнения (13.1) ненулевой, то уравнение может иметь только неподвижные и симметричные стационарные локализованные решения. [15]