Cтраница 3
Здесь последнее равенство получено заменой координаты времени cdt - adr. Невозмущенное решение получено нами выше, в § 1 гл. [31]
В качестве невозмущенного решения берется однородная изотропная модель Фридмана. Эти выражения подставляются в уравнении Эйнштейна, которые связывают между собой возмущения hik, бе, и и определяют их эволюцию во времени. [32]
Релятивистской астрофизики имеется ошибка. Здесь в качестве невозмущенного решения взята плоская Вселенная, возмущение в зависимости от знака а соответствует замкнутой или гиперболической ( открытой) космологической модели вблизи сингулярности. [33]
Теория Джинса в том виде, в каком она изложена выше, формально ошибочна, поскольку невозмущенное однородное распределение вещества предполагается стационарным. Между тем в действительности невозмущенное решение должно быть нестационарным, поскольку постоянной плотности ро соответствует переменный гравитационный потенциал ер. Эту болезнь нельзя вылечить, взяв в качестве невозмущенного такое статическое решение, в котором гравитация уравновешена градиентом давления: как подробно показано в ТТ и ЭЗ, такое тело имеет конечную массу и размеры порядка Кяж, так что к нему теория Джинса неприменима. [34]
Неэкспоненциальный ( степенной) характер нарастания возмущений связан с тем, что невозмущенное решение явно зависит от времени. С такой модификацией джинсовских формул получается, как можно показать [48], закон нарастания возмущений, очень близкий к точному решению Лифшица - Боннора. Конечно, нельзя было ожидать полного совпадения. Действительно, предложенное выше обобщение джинсовского закона ( ВДВ по времени) было бы строго справедливо только при условии, что скорость нарастания возмущения намного превосходит скорость изменения невозмущенных величин. [35]
Подставим эти выражения в уравнения гидродинамики; как полагается в теории возмущений, рассматриваем только члены, линейные по б, w, f, о. Члены нулевого порядка ( не содержащие б, w, f, а) описывают невозмущенное решение, и предполагается, что для них уравнения выполняются тождественно. [36]
Он состоит в следующем. При этом первый член разложения, не содержащий е, получается при е 0 и дает так называемое невозмущенное решение; дальнейшие члены дают поправки на возмущение решения. [37]
Возмущения рассматриваются на фоне пространственно-однородной и изотропной, но эволюционирующей Вселенной. Следовательно, решения, относящиеся к элементарным, собственным, фундаментальным возмущениям ( на которые раскладываются произвольные возмущения), должны обладать инвариантностью относительно тех преобразований, относительно которых тождественно инвариантно невозмущенное решение. [38]
На SP-интервалах, где все корни дисперсионного уравнения (1.5) действительны, задача Коши корректна в обычных нормах, по крайней мере, при возмущениях, не нарушающих справедливости линейного анализа. Как показывает исследование возможных пересечений траекторий частиц, последнее означает ограниченность начальных производных: ip xQ - ke К, где К О ( 1) - константы, зависящие от невозмущенного решения. [39]
Параметр у вводится потому, что в принципе любое возмущение может происходить небольшими порциями и волновые функции и собственные значения для одного значения у могут непрерывно переходить в функции и собственные значения для другого значения у. Предположим, что этим невозмущенным решением является ullU и что собственным значением, соответствующим Я, является Кпп. [40]
Тяготение, связанное с возмущением плотности, как мы уже выяснили, несущественно. Для изменения скорости пробной частицы в невозмущенном решении применимы все рассуждения § 1 гл. [41]
Предположим, что выбрана некоторая собственная функция, не являющаяся асимптотически наибольшей по модулю. Изменим на некотором малом участке форму граничной поверхности и приложим к ней некоторую нагрузку, статически эквивалентную нулю и отвечающую собственной функции, наибольшей по модулю. Тогда при приближении к особой точке возмущенное решение будет по порядку величины превосходить невозмущенное решение, что противоречит предположению о корректности краевой задачи. [42]
Наиболее наглядно ограничения применимости концепции сохранения энергии для волн проявляются в гидродинамике и физике плазмы. В этих случаях невозмущенная среда в отсутствие волн сама описывается решением уравнений движения, которые могут быть отнюдь не тривиальными. Полная энергия невозмущенной системы может быть бесконечной. Во всяком случае, волны следует рассматривать как возмущения, для которых нужно знать возмущенный лагранжиан, приводящий к соответствующим уравнениям движения для возмущений, которым эти волны удовлетворяют. Энергия или действие, используемые при изучении волн, должны характеризовать эти волны, и их следует определять как понятия, относящиеся к возмущенным величинам. Однако энергия возмущения сохраняется только тогда, когда невозмущенное решение стационарно. [43]