Cтраница 3
В соответствии с операциями векторного анализа векторное произведение оператора V на вектор скорости является также векторной величиной и называется вихрем или ротором вектора. Неравенство нулю значения rot w в любой точке потока означает, что в этой точке наблюдается вращение элементарного объема. [31]
Основная цель введения оператора у состоит в упрощении таких операций над векторами и скалярами, как получение градиента скалярной функции, образование дивергенции и ротора вектора, образование оператора Лапласа. [32]
Помимо скалярного произведения символического вектора V на вектор а, можно образовать и векторное произведение этих векторов, которое, как легко видеть, представляет собой ротор вектора а ( см. сноску на стр. [33]
Согласно этой теореме, циркуляция вокруг элемента ( линейный интеграл векторных компонент в тангенциальном направлении, взятый вокруг ABDC в направлении положительного вращения) должна быть равна удвоенному значению ротора вектора w, а именно площади rdrda, увеличенной в ladrda раз. [34]
Чтобы получить условие (7.3.7), следовало бы ввести вместо тензора вращения эквивалентный ему вектор, далее представить тождество (7.3.4) с помощью е-тензора и записать условия интегрируемости этих тождеств как условие равенства нулю ротора вектора, используя еще раз обозначение соответствующей операции с помощью е-тензора. Мы не будем следовать этому пути, а просто проверим, что из 81 соотношения (7.3.6) на самом деле остается только шесть. [35]
Поле некоторого вектора В, у которого уВ 0, не имеет истока и стока, нигде не начинается и не кончается; оно представляет собой замкнутые образования. Ротор вектора В не равен нулю, по крайней мере, в ряде точек поля. [36]
Каждая из приведенных формул называется формулой Стокса. Поток ротора вектора через замкнутую поверхность равен нулю. Поле ротора является соленоидальным. [37]
Докажем теперь, что уравнение (2.4.9) справедливо всюду, если только оно выполняется в одной точке. Действительно, равенство нулю ротора вектора п & в некоторой точке означает, что диада V ( / zs) - симметричная. Покажем, что и все производные от V ( / zs) симметричны. [38]
Читателю, должно быть, известно, что векторное поле определено полностью, если во всем пространстве заданы его дивергенция и ротор. Таким образом, нам необходимо еще уравнение, определяющее ротор вектора Е в каждой точке. [39]
Соотношение ( 79) является математической теоремой, называемой теоремой Стокса. Теорема Стокса связывает линейный интеграл от вектора е поверхностным интегралом от ротора вектора. Теорема Гаусса ( формула ( 51)) связывает поверхностный интеграл от вектора с объемным интегралом от дивергенции вектора. Теорема Стокса имеет дело с поверхностью и кривой, огибающей эту поверхность. Теорема Гаусса относится к объему и охватывающей его поверхности. [40]
Это и есть теорема Стокса. Она может быть сформулирована следующим образом: линейный интеграл от вектора F по некоторому замкнутому контуру равен поверхностному интегралу от ротора вектора F по поверхности, опирающейся на этот контур. [41]
Если вектор А получен из формулы (7.10), то его дивергенция также равна нулю. Заменим теперь в соотношении (8.3) В на V X А и переменим местами d / dt и rot; тогда нетрудно впдеть, что роторы векторов Е и - dA / dt раввы между собой. [42]
Форма поверхности 5 при этом остается совершенно неопределенной. Стало быть, через любые две поверхности St и St, если только они обладают одним и тем же контуром L, проходит одинаковый поток ротора любого непрерывного вектора а, равный циркуляции этого вектора по общему контуру этих поверхностей. [43]
Форма поверхности 5 при этом остается совершенно неопределенной. Стало быть, через любые две поверхности 5 и 52, если только они обладают одним и тем же контуром L, проходит одинаковый поток ротора любого непрерывного вектора а, равный циркуляции этого вектора по общему контуру этих поверхностей. [44]