Cтраница 3
При обосновании этого соотношения существенно используется разложение решения системы уравнений в ряд Неймана. [31]
Это означает, что уравнение пои то перестает быть фредгольмовским и становится сингулярным. Тем не менее, можно доказать, что и при TO сю ряд Неймана сходится при достаточно хороших внеинтегральных слагаемых. [32]
Ряд ( 23), как и ряд ( 22), известен под названием ряда Неймана. [33]
Один из способов разрешения создавшегося противоречия состоит в более детальном описании классов подынтегральных функций. В частности, при рассмотрении задачи-вычисления интегралов, возникающих при решении интегральных уравнений с помощью разложения в ряд Неймана, возникли новые классы подынтегральных функций и соответствующие им теоретико-числовые методы интегрирования, остающиеся вне нашего рассмотрения. Другим выходом из создавшейся обстановки является отказ от получения строгой, гарантированной оценки погрешности и получение оценки погрешности лишь с определенной степенью достоверности. [34]
В этих работах первая основная задача рассмотрена лишь для частного случая нагрузки, симметричной относительно срединной полуплоскости клина. Как показано в статье И. А. Лубягина, Д. А. Пожарского и М. И. Чебакова [37], при сосредоточенной нормальной нагрузке правая часть уравнения Фредгольма лежит в пространстве непрерывных ограниченных на полуоси функций См ( 0, оо), сходимость в котором - равномерная, что важно для аналитического представления функции Грина в виде ряда Неймана. В [37] исследуются случаи, когда одна грань клина свободна от напряжений ( вариант а), либо находится в условиях скользящей ( вариант б) или жесткой ( вариант в) заделки, а на другой грани действуют нормальные и касательные усилия. Все три задачи окончательно сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, через решения которых можно выразить все компоненты вектора перемещений и тензора напряжений в клине. В работе В. И. Короткина и Д. А. Пожарского [36] приводится пример функции Грина для упругой четверти пространства с одной свободной от напряжений гранью ( решение задачи Хетени), который показывает недостатки приближенной функции Грина, использованной в ряде статей других авторов. [35]
В задачах наследственной теории упругости приходится вводить несколько операторов Вольтерра и выполнять некоторые операции, состоящие в решении интегральных уравнений, ядра которых представляют некоторые комбинации исходных ядер и их резольвент. Правило умножения операторов и соотношения (17.1.7) позволяют записать и выполнить промежуточные операции преобразований по правилам алгебры, однако заключительный этап будет состоять в решении интегрального уравнения. Ряд Неймана при этом скорее указывает на принципиальную возможность решения интегрального уравнения, чем служит эффективным средством для такого решения. На практике положение облегчается тем фактом, что ядра наследственности, Характеризующие свойства материала, выбираются в результате обработки опытных данных, а опытные данные лежат внутри некоторой полосы разброса. Поэтому, как правило, оказывается возможным искать операторы наследственности внутри некоторого класса, достаточно широкого для удовлетворительного воспроизведения опытных данных, с одной стороны допускающего явное выполнение обращения (17.1.7), с другой. [36]
В теории интегральных уравнений доказывается сходимость ряда Неймана для любых ограниченных ядер К. Здесь мы заметим, не приводя доказательства, что ряд Неймана сходится, если итерированные ядра становятся ограниченными, начиная с некоторого номера. В частности, если ядро имеет особенность вида ( t - т) - а, 0 а1, то ряд Неймана сходится. [37]
Использование обобщенных матриц рассеяния особенно удобно в том случае, когда рассматриваемую структуру можно представить в виде последовательности двух или более элементов, каждый из которых достаточно просто описывается с помощью обобщенной матрицы рассеяния. Следующий шаг состоит в рассмотрении многократного рассеяния на двух сходных сочленениях элементов. В результате удается формально представить точное решение задачи в виде рядов Неймана, содержащих матрицы бесконечного порядка. Во многих практически важных задачах можно получить достаточно точное решение, заменив бесконечную матрицу матрицей с конечным числом элементов. [38]
Было предложено сводить решение задачи к вычислению членов ( медленно сходящегося) ряда Неймана. Вычисление дальних членов этого ряда требует вычисления интегралов высокой кратности. Стимулированное во многом Н.Н. Ченцовым обсуждение особенностей задач такого рода привело к рассмотрению задачи интегрирования функций из классов функций с доминирующей смешаной производной, более удачно описывающих подынтегральные функции членов ряда Неймана, чем традиционные классы функций. [39]
Первым и простейшим методом решения интегрального уравнения Фредгольма является метод последовательных приближений-ряд Неймана. При численной его реализации целесообразно обычно соответствующие интегралы заменять суммами по какой-либо формуле механических квадратур, что приводит к удобной схеме вычислений. Оправданность этого метода в том отношении, что ряды для значений неизвестной функции получаются сходящиеся, была установлена Н. М. Крыловым и Я. Д. Тамаркиным [1] для случая, когда параметр находится в обычно указываемых границах сходимости ряда Неймана. В случае, если мы находимся вне этих пределов, может быть применен метод аналитического продолжения, введение вместо л нового параметра и перестроения ряда по его степеням. [40]
В теории интегральных уравнений доказывается сходимость ряда Неймана для любых ограниченных ядер К. Здесь мы заметим, не приводя доказательства, что ряд Неймана сходится, если итерированные ядра становятся ограниченными, начиная с некоторого номера. В частности, если ядро имеет особенность вида ( t - т) - а, 0 а1, то ряд Неймана сходится. [41]
Следует упомянуть также метод Дж. Для решения этого уравнения используется метод разложения, который по существу является методом решения уравнения Вольтерра, основанным на разложении в ряд Неймана. [42]