Cтраница 2
Дальнейшее построение членов асимптотического ряда (11.3) и доказательство теоремы существования и единственности проводится по схеме предложенной ранее. Некоторые усложнения, связанные с исследованием линейных дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами в гельдеровских пространствах с весом, не носят принципиального характера. [16]
Последовательное определение членов асимптотических рядов - решений во внутренней и внешней областях может быть продолжено. При этом, как показывает анализ, определение явного вида этих членов наталкивается на серьезные трудности. [17]
Рассмотрение общих свойств асимптотических рядов выходит за рамки этой книги1, так как оно представляет собой строгое рассмотрение метода стационарной фазы. Мы лишь обсудим вкратце сущность метода и обоснуем его целесообразность. Далее мы воспользуемся методом для вывода формулы асимптотического приближения к некоторым интегралам, которые часто используются в оптике. [18]
Для изучения низших порядков асимптотического ряда удобно заменить Е г) на новую величину Е ( г) определяемую выражением [ ср. [19]
Для нахождения первых членов асимптотического ряда в разложении полного потока целевого компонента / достаточно знать характер поведения функций Ф0 ( г) и Ф1 ( г) на бесконечном удалении от поверхности пузырька газа. [20]
Напомним, что у асимптотических рядов всегда имеется максимальное число членов ряда, дающее наилучшую аппроксимацию при заданном значении аргумента. При дальнейшем увеличении числа членов аппроксимация не улучшается, а ухудшается. [21]
Решения представлены в виде формальных асимптотических рядов различной структуры по степеням относительной толщины оболочки. Указываются алгоритмы построения коэффициентов этих рядов, а во многих случаях для нескольких первых членов этих рядов приводятся явные выражения. Как правило, эти ряды расходятся. Отрезки этих рядов с ростом числа членов удовлетворяют уравнениям и граничным условиям со все возрастающей точностью. Недоказанным осталось утверждение, заключающееся в том, что погрешность, возникающая при замене искомой функции несколькими первыми членами ряда, имеет порядок первого отброшенного его члена. [22]
Хотя для каждого фиксированного R асимптотический ряд расходится, существует оптимальное п, при котором представление функции рядом является наилучшим. Запись энергии в виде ряда по степеням R - l означает, как уже указывалось выше, пренебрежение экспоненциально убывающими членами. Результат, оказывается, не зависит от того, разлагаем ли мы оператор в матричных элементах, входящих в выражение для Е №, либо конечное выражение для EW, если в последнем пренебречь экспоненциально убывающими членами. Эквивалентность этих двух способов разложения была продемонстрирована Дальгарно и Лином [97] на примере расчета энергии взаимодействия атома Ы в основном состоянии с Н во втором порядке теории возмущений. [23]
Хотя для каждого фиксированного х асимптотический ряд, как правило, расходится, существует оптимальное N, при котором представление функции рядом является наилучшим. При фиксированном N для больших х асимптотический ряд представляет функцию / ( х) с любой заданной точностью. [24]
Формула ( 140) дает искомый асимптотический ряд. [25]
Имеет смысл основные идеи построения асимптотических рядов по малому параметру и доказательств существования решений, имеющих такие асимптотические разложения проследить на примере сравнительно простой модельной задачи. Будет рассмотрена граничная задача для уравнения эллиптического типа, хотя в дальнейшем предлагаемый метод будет применяться и к граничным задачам, описываемым уравнениями других типов. [26]
Доказательство легко следует из определения асимптотических рядов и предоставляется читателю. [27]
Подчеркнем то важное обстоятельство, что асимптотический ряд может быть расходящимся. [28]
Формула Эйлера ( 70) представляет собой асимптотический ряд. [29]
Аналитическая часть нашего метода включает понятие асимптотического ряда. Ниже мы дадим определения и выведем некоторые основные свойства таких рядов. [30]