Cтраница 2
Благодаря тому, что сумма условно сходящегося ряда зависит от порядка его членов, теорема Коши об умножении рядов к условно сходящимся рядам не применима. [16]
Это свойство не сохраняется для условно сходящихся рядов. [17]
Нетрудно показать, что члены условно сходящегося ряда ( 20) можно переставить так, что полученный после перестановки ряд будет расходящимся. [18]
Итак, мы видим, что условно сходящийся ряд нельзя рассматривать как разность двух сходящихся рядов, один из которых состоит из положительных членов данного ряда, а другой - из абсолютных величин его отрицательных членов. С этим фактом тесно связано еще одно различие между абсолютно сходящимися и условно сходящимися рядами, которое мы рассмотрим в следующем пункте. [19]
Совершенно иная картина имеет место для условно сходящегося ряда. [20]
Доказательство теоремы Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда состоит в следующем. [21]
Для иллюстрации того, что сумма условно сходящегося ряда может меняться при перестановке его членов, рассмотрим следующий пример. [22]
Для иллюстрации того, что умма условно сходящегося ряда может меняться при перестановке его членов, рассмотрим следующий пример. [23]
Для иллюстрации того, что сумма условно сходящегося ряда может меняться при перестановке его членов, рассмотрим следующий пример. [24]
Как известно ( теорема Римана), условно сходящийся ряд можно заставить сходиться к любой сумме или превратить в расходящийся, соответственным образом изменив порядок членов этого ряда. Он обнаружил существование таких перестановок, которые всякий сходящийся ряд оставляют сходящимся, но могут некоторый расходящийся ряд сделать сходящимся. [25]
Следующие две теоремы показывают существенное различие абсолютно и условно сходящихся рядов с точки зрения перестановки членов ряда. [26]
Рассмотренный пример показывает, что при перестановке членов условно сходящегося ряда его сумма может измениться. [27]
Мы видим, что, переставляя должным образом члены условно сходящегося ряда, можно добиться его сходимости к наперед заданному значению суммы. [28]
Следует иметь в виду, что если производить умножение условно сходящихся рядов только что указанным способом, то в результате умножения можно получить расходящийся ряд. [29]
Полную ясность в вопрос о влиянии перестановок членов на сумму условно сходящегося ряда вносит следующее замечательное утверждение, принадлежащее Риману. [30]