Cтраница 1
Саккери доказал довольно много интересных теорем прежде, чем ему удалось обнаружить теорему, столь необычную и так резко выпадавшую из всего ранее известного, что он усмотрел было в ней противоречие с ранее доказанными утверждениями. Но как позднее установили математики, Саккери во втором случае не удалось прийти к противоречию, поэтому проблема, связанная с аксиомой о параллельных, по-прежнему оставалась открытой. [1]
Саккери показывает прежде всего, что, принимая то или другое предложение относительно одного четырехугольника этого типа, мы тем самым должны принять его также относительно всех четырехугольников того же типа. Иными словами, если какой-либо один из этих четырехугольников имеет при верхнем основании, скажем, острые углы, то и все четырехугольники этого типа имеют острые же углы. Саккери называет три различных допущения которые здесь могут быть сделаны, гипотезой острого угла, гипотезой прямого угла и гипотезой тупого угла. Саккери доказывает далее, что при гипотезе тупого угла сумма углов веяного треугольника больше двух прямых, при гипотезе прямого угла она равна двум прямым, при гипотезе острого угла она меньше двух прямых. Да лее доказывается, что гипотеза прямого угла эквивалентна постулату Евклида; чтобы доказать постулат, нужно, следовательно, опровергнуть две другие гипотезы. Но если принять гипотезу тупого угла, то прямые А В и АВ сближаются по обе стороны прямой СС и сближаются настолько быстро, что по обе стороны должно произойти пересечение ( Саккери это доказывает вполне строго); а так как две прямые не могут пересекаться в двух точках, то гипотеза тупого угла отпадает. Остается опровергнуть гипотезу острого угла. Этой гипотезе Саккери посвящает обширное исследование, занимающее около 80 страниц. Саккери показывает, что при гипотезе острого угла две непересекающиеся прямые, расположенные в одной плоскости, либо имеют общий перпендикуляр, от которого они расходятся, бесконечно удаляясь друг от друга в обе стороны, либо бесконечно удаляются друг от друга в одну сторону и неограниченно сближаются в другую. Чтобы это обнаружить, строится ряд подготовительных рассуждений, часто для дела вовсе не нужных, которые, однако, Саккери проводит с безупречной строгостью. [2]
Саккери не заключает о противоречии только на том основании, что полученные им выводы не соответствуют привычным представлениям о расположении прямых, и упорно ищет логическое противоречие. Такое противоречие им в конце концов было найдено, однако, в результате вычислительной ошибки. [3]
Здесь Саккери получает различные следствия, абсурдные с точки зрения привычных геометрических представлений. [4]
Точкой отправления для Саккери служит четырехугольник, кото - Рис, 38 рый фактически встречается уже у Насир-Эддина. Из крайних точек А и В отрезка А В восставим к нему перпендикуляры АА и ВВ расположенные в одной плоскости по одну сторону прямой АВ. На этих перпендикулярах отложим равные отрезки АА ъВВ ( рис. 38), Таким образом составится четырехугольник А А В В с двумя прямыми углами при нижнем основании АВ. [5]
Постулировав гипотезу тупого угла, Саккери приходит к противоречию и, наконец, постулирует гипотезу острого угла. [6]
Во-вторых, он ведет гипотезу острого угла еще дальше, нежели Саккери: он знает, например, что при этой гипотезе площадь треугольника должна быть пропорциональна разности между 2d и суммой его углов. [7]
Он брал четырехугольник с тремя прямыми углами ( рис. 4) и подобно Саккери рассматривал три гипотезы для угла при четвертой вершине. Ламберт доказал, что гипотеза прямого угла эквивалентна пятому постулату, гипотеза тупого угла невозможна, а постулировав гипотезу острого угла, подобно Саккери, получил многочисленные следствия, обнаруживающие парадоксальные свойства в расположении прямых. [8]
Рассматривая четырехугольник ( рис. 13), носящий его имя ( который справедливости ради следовало бы назвать четырехугольником Хайяма), Саккери стремится доказать, что гипотезы тупого и острого угла приводят к логическим противоречиям и что остается лишь гипотеза прямого угла, из которой вытекает евклидов V постулат. Он легко опровергает гипотезу тупого угла. [9]
В опубликованном после его смерти произведении Теория параллельных линий ( 1786) Ламберт рассматривает четырехугольник, носящий, как сказано выше, его имя ( трипрямоугольник, который следовало бы назвать четырехугольником Ибн ал - Хай-сама), и исследует, как и Саккери, возможные при этом три гипотезы. В отличие от Саккери Ламберт в своих рассуждениях нигде не отступает от строгой дедукции, и поэтому он не находит противоречия в гипотезе острого угла и признает тщетность всех попыток доказать V постулат. [10]
Последнее - постулат параллельности, и утверждать, что он универсален, было бы ошибкой, как мы только что показали Если бы постулат параллельности был верен во всех воображаемых мирах, то неэвклидова геометрия была бы невозможна Это отбрасывает нас назад, в ту же ситуацию, в которой находились Саккери и Ламберт - безусловно, не лучший выход Что же, если не математика, является общим для всех воображаемых миров. [11]
Евклида Саккери действительно удалось вывести противоречие. Тогда Саккери испробовал вторую единственно возможную альтернативу, предположив, что существуют 4io крайней мере две прямые р и q, проходящие через точку Р и не пересекающиеся с прямой /, сколько бы их ни продолжали. [12]
В опубликованном после его смерти произведении Теория параллельных линий ( 1786) Ламберт рассматривает четырехугольник, носящий, как сказано выше, его имя ( трипрямоугольник, который следовало бы назвать четырехугольником Ибн ал - Хай-сама), и исследует, как и Саккери, возможные при этом три гипотезы. В отличие от Саккери Ламберт в своих рассуждениях нигде не отступает от строгой дедукции, и поэтому он не находит противоречия в гипотезе острого угла и признает тщетность всех попыток доказать V постулат. [13]
Оно было опубликовано в 1733 г., уже после смерти автора, умершего в том же году. Тонко анализируя Евклида, Саккери очень подробно останавливается на постулате о параллельных линиях и действительно дает этому вопросу существенно новое освещение. [14]
Здесь под влиянием Джованни Чевы1 Саккери заинтересовался математикой и стал серьезно заниматься ею. [15]