Cтраница 3
Ибн ал - Хайсам считает возможным дать понятие бесконечной прямой. В дальнейшем с помощью кинематических соображений, заимствованных у Ибн Корры, Ибн ал - Хайсам доказывает, что геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от прямой по одну сторону от нее, есть прямая. На этом и основывается его доказательство V постулата. Рассматривается также четырехугольник с двумя прямыми углами, образованными основанием с двумя прилегающими к нему равными сторонами, названный в настоящее время по имени итальянского математика Джироламо Саккери ( 1667 - 1733) четырехугольник Саккери. Одним из звеньев цепи, идейно связывающей Ибн ал - Хайсама с Саккери, были труды Омара Хайяма. [31]
Точкой отправления все время служат доказательства постулата о параллельных линиях. Сначала эти доказательства носят наивный характер; потом они становятся все серьезнее в том смысле, что содержащаяся в них погрешность все глубже скрывается. По методу они распадаются, главным образом, на две категории: одни явно предпосылают допущение, эквивалентное постулату Евклида, другие ведут доказательство от противного; иными словами, делается допущение, противоположное постулату, и из него выводят следствия с целью притти к противоречию с установленными уже предложениями. Одни авторы при ходят к кажущемуся противоречию очень скоро, усматривая его в том, что выводы резко расходятся с интуицией, с указаниями глаза; но в этом нет логического противоречия с установленными уже предложениями. Другие тонко ведут свою дедукцию, приходят к выводам, которые можно рассматривать как начальные предложения неевклидовой геометрии. Далеко в этом направлении прошли Саккери и Ламберт; последний уже не впал в заблуждение и высказывает даже суждение, которое можно рассматривать как первое предвосхищение неевклидовой геометрии, как признание возможности, что Начала Евклида не должны считаться необходимой и единственной системой геометрии. Тверже на эту точку зрения становится Гаусс. Концепция неевклидовой геометрии ему уже ясна. [32]
Во времена Баха жил некий Джироламо Саккери ( 1667 - 1733), питавший надежду освободить труд Эвклида от всех его недостатков. Основываясь на своих работах в области логики, он решил подойти к доказательству пятого постулата по-новому: предположим, что мы принимаем за истинное утверждение, обратное данному постулату. Поскольку никакая математическая система не может содержать противоречия, тем самым мы докажем несостоятельность нашего пятого постулата - а следовательно, состоятельность пятого постулата Эвклида. Необязательно вдаваться в подробности истории; достаточно сказать, что Саккери с большой изобретательностью начал работать над Саккерианской геометрией, выводя одно утверждение за другим, пока ему не надоело. Это, как ему показалось, было именно тем, чего он так долго искал - желанным противоречием. [33]
Саккери показывает прежде всего, что, принимая то или другое предложение относительно одного четырехугольника этого типа, мы тем самым должны принять его также относительно всех четырехугольников того же типа. Иными словами, если какой-либо один из этих четырехугольников имеет при верхнем основании, скажем, острые углы, то и все четырехугольники этого типа имеют острые же углы. Саккери называет три различных допущения которые здесь могут быть сделаны, гипотезой острого угла, гипотезой прямого угла и гипотезой тупого угла. Саккери доказывает далее, что при гипотезе тупого угла сумма углов веяного треугольника больше двух прямых, при гипотезе прямого угла она равна двум прямым, при гипотезе острого угла она меньше двух прямых. Да лее доказывается, что гипотеза прямого угла эквивалентна постулату Евклида; чтобы доказать постулат, нужно, следовательно, опровергнуть две другие гипотезы. Но если принять гипотезу тупого угла, то прямые А В и АВ сближаются по обе стороны прямой СС и сближаются настолько быстро, что по обе стороны должно произойти пересечение ( Саккери это доказывает вполне строго); а так как две прямые не могут пересекаться в двух точках, то гипотеза тупого угла отпадает. Остается опровергнуть гипотезу острого угла. Этой гипотезе Саккери посвящает обширное исследование, занимающее около 80 страниц. Саккери показывает, что при гипотезе острого угла две непересекающиеся прямые, расположенные в одной плоскости, либо имеют общий перпендикуляр, от которого они расходятся, бесконечно удаляясь друг от друга в обе стороны, либо бесконечно удаляются друг от друга в одну сторону и неограниченно сближаются в другую. Чтобы это обнаружить, строится ряд подготовительных рассуждений, часто для дела вовсе не нужных, которые, однако, Саккери проводит с безупречной строгостью. [34]
Саккери показывает прежде всего, что, принимая то или другое предложение относительно одного четырехугольника этого типа, мы тем самым должны принять его также относительно всех четырехугольников того же типа. Иными словами, если какой-либо один из этих четырехугольников имеет при верхнем основании, скажем, острые углы, то и все четырехугольники этого типа имеют острые же углы. Саккери называет три различных допущения которые здесь могут быть сделаны, гипотезой острого угла, гипотезой прямого угла и гипотезой тупого угла. Саккери доказывает далее, что при гипотезе тупого угла сумма углов веяного треугольника больше двух прямых, при гипотезе прямого угла она равна двум прямым, при гипотезе острого угла она меньше двух прямых. Да лее доказывается, что гипотеза прямого угла эквивалентна постулату Евклида; чтобы доказать постулат, нужно, следовательно, опровергнуть две другие гипотезы. Но если принять гипотезу тупого угла, то прямые А В и АВ сближаются по обе стороны прямой СС и сближаются настолько быстро, что по обе стороны должно произойти пересечение ( Саккери это доказывает вполне строго); а так как две прямые не могут пересекаться в двух точках, то гипотеза тупого угла отпадает. Остается опровергнуть гипотезу острого угла. Этой гипотезе Саккери посвящает обширное исследование, занимающее около 80 страниц. Саккери показывает, что при гипотезе острого угла две непересекающиеся прямые, расположенные в одной плоскости, либо имеют общий перпендикуляр, от которого они расходятся, бесконечно удаляясь друг от друга в обе стороны, либо бесконечно удаляются друг от друга в одну сторону и неограниченно сближаются в другую. Чтобы это обнаружить, строится ряд подготовительных рассуждений, часто для дела вовсе не нужных, которые, однако, Саккери проводит с безупречной строгостью. [35]
Главнейшими из таких предложений, равносильных эвклидову постулату, были следующие: через данную точку плоскости можно провести лишь одну прямую, ие пересекающую данной прямой, лежащей в этой плоскости; все точки одной из двух параллельных прямых одинаково удалены от второй прямой; прямая линия не может целиком лежать внутри угла, образованного двумя другими прямыми; сумма углов всякого тр-ка равна двум прямым. Без труда убеждаясь в равенстве двух остальных углов, Саккери делал три различных предположения о их величине: гипотеза тупого угла, гипотеза прямого угла и гипотеза острого угла. Исследования Ламберта были вполне - аналогичны. Так же, как и Саккери, он пытался отвергнуть гипотезу острого угла и так же, как и Саккери, лрлучил выводы, противоречащие обычным геометрич. [36]
Главнейшими из таких предложений, равносильных эвклидову постулату, были следующие: через данную точку плоскости можно провести лишь одну прямую, ие пересекающую данной прямой, лежащей в этой плоскости; все точки одной из двух параллельных прямых одинаково удалены от второй прямой; прямая линия не может целиком лежать внутри угла, образованного двумя другими прямыми; сумма углов всякого тр-ка равна двум прямым. Без труда убеждаясь в равенстве двух остальных углов, Саккери делал три различных предположения о их величине: гипотеза тупого угла, гипотеза прямого угла и гипотеза острого угла. Исследования Ламберта были вполне - аналогичны. Так же, как и Саккери, он пытался отвергнуть гипотезу острого угла и так же, как и Саккери, лрлучил выводы, противоречащие обычным геометрич. [37]
Саккери показывает прежде всего, что, принимая то или другое предложение относительно одного четырехугольника этого типа, мы тем самым должны принять его также относительно всех четырехугольников того же типа. Иными словами, если какой-либо один из этих четырехугольников имеет при верхнем основании, скажем, острые углы, то и все четырехугольники этого типа имеют острые же углы. Саккери называет три различных допущения которые здесь могут быть сделаны, гипотезой острого угла, гипотезой прямого угла и гипотезой тупого угла. Саккери доказывает далее, что при гипотезе тупого угла сумма углов веяного треугольника больше двух прямых, при гипотезе прямого угла она равна двум прямым, при гипотезе острого угла она меньше двух прямых. Да лее доказывается, что гипотеза прямого угла эквивалентна постулату Евклида; чтобы доказать постулат, нужно, следовательно, опровергнуть две другие гипотезы. Но если принять гипотезу тупого угла, то прямые А В и АВ сближаются по обе стороны прямой СС и сближаются настолько быстро, что по обе стороны должно произойти пересечение ( Саккери это доказывает вполне строго); а так как две прямые не могут пересекаться в двух точках, то гипотеза тупого угла отпадает. Остается опровергнуть гипотезу острого угла. Этой гипотезе Саккери посвящает обширное исследование, занимающее около 80 страниц. Саккери показывает, что при гипотезе острого угла две непересекающиеся прямые, расположенные в одной плоскости, либо имеют общий перпендикуляр, от которого они расходятся, бесконечно удаляясь друг от друга в обе стороны, либо бесконечно удаляются друг от друга в одну сторону и неограниченно сближаются в другую. Чтобы это обнаружить, строится ряд подготовительных рассуждений, часто для дела вовсе не нужных, которые, однако, Саккери проводит с безупречной строгостью. [38]
Прокла основано на предположении о конечности расстояния между параллельными), Ибн аль - Хайсам ( кон. Ибн аль - Хайсам пытался доказать V постулат исходя из предположения, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию), Омар Хайям ( 2-я пол. Хайям и Насирэдцин при доказательстве V постулата исходили из предположения, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения), К. Валлис ( 1663, опубликовано в 1693) ( Дж. Приняв предложение, противоречащее постулату Евклида, Дж. Ошибочно призвав нек-рые из этих следствий приводящими к противоречиям, Дж. Саккери заключил, что постулат Евклида доказан. [39]
Нестандартная теория чисел при первом знакомстве сбивает с толку. Но ведь и не эвклидова геометрия тоже странная штука. В обоих случаях так и хочется спросить: Но какая из этих двух соперничающих теорий правильна. Какая из них выражает истину. В некотором смысле, ответа на этот вопрос не существует. Но в другом смысле, о котором мы поговорим позже, на этот вопрос можно дать ответ. То, что ответа нет, объясняется тем фактом, что соперничающие теории, хотя они и пользуются одинаковыми терминами, говорят о разных вещах. Поэтому они соперники только по видимости, точно так же как эвклидова и неэвклидова геометрии. В геометрии слова точка, линия и так далее - неопределенные термины, и их значения определяются той аксиоматической системой, в рамках которой они в данный момент используются. Решив формализовать ТТЧ, мы заранее выбрали термины для интерпретации - например, число, плюс, умножить и так далее. Приступив к формализации, мы тем самым согласились работать с любыми значениями, которые эти термины могут принять. Но оказывается, что, как и Саккери, мы не были готовы к сюрпризам. Мы думали, что нам известно, какая теория чисел истинна, правильна и единственна, и не подозревали о том, что ТТЧ не сможет ответить на некоторые вопросы о числах - вопросы, на которые оказалось возможным ответить ad libitum только расширив теорию чисел в разных направлениях. [40]