Cтраница 2
Саккери доказал довольно много интересных теорем прежде, чем ему удалось обнаружить теорему, столь необычную и так резко выпадавшую из всего ранее известного, что он усмотрел было в ней противоречие с ранее доказанными утверждениями. Но как позднее установили математики, Саккери во втором случае не удалось прийти к противоречию, поэтому проблема, связанная с аксиомой о параллельных, по-прежнему оставалась открытой. [16]
Наконец, через сорок лет после Ламберта и через пятьдесят лет после Саккери, неэвклидова геометрия была признана как новая, полноправная область геометрии. [17]
Ламберт рассматривает четырехугольник, имеющий три прямых угла д рис. 39) А, С D, относительно четвертого угла В могут быть опять-таки сделаны три гипотезы: либо это угол тупой, либо прямой, либо острый. Ламберт рассматривает каждую гипотезу в отдельности и в некоторых отношениях уходит значительно дальше Саккери. [18]
Словом, это целая геометрическая система, соответствующая гипотезе острого угла. Но эта тонкая нить безупречных рассуждений внезапно прерывается теоремой XXXIII, в которой Саккери заявляет: Гипотеза острого угла совершенно ложна, ибо противоречит природе прямой линии. В чем же сказывается это противоречие. Рассматривая неограниченно сближающиеся прямые как пересекающиеся в бесконечно удаленной точке, Саккери приходит к заключению, что из этой бесконечно удаленной точки к обеим прямым можно было бы провести общий перпендикуляр, что противно природе прямой линии. Человек, чрезвычайно тонко разбирающий доказательства Прокла, Насир-Эддина и Клавия, искусно вылавливающий глубоко сокрытую логическую ошибку, запутывается сам в элементарных рассуждениях, потому что он не имеет твердых оснований для суждения о том, в какой мере можно пользоваться бесконечно удаленными точками. [19]
Однако, будучи предубежден о невозможности того, чтобы для евклидова постулата не имелось доказательства, Саккери для опровержения гипотезы острого угла прибег к утверждению чисто интуитивного характера: существование асимптотических прямых якобы противоречит природе прямой линии. Заслуга Саккери состоит, разумеется, не в конечном его выводе, а в намеченном им пути доказательства и в установлении промежуточных предложений, выведенных им на основе гипотезы острого угла, которые сто лет спустя легли в основу новой, неевклидовой геометрии Лобачевского. [20]
Он брал четырехугольник с тремя прямыми углами ( рис. 4) и подобно Саккери рассматривал три гипотезы для угла при четвертой вершине. Ламберт доказал, что гипотеза прямого угла эквивалентна пятому постулату, гипотеза тупого угла невозможна, а постулировав гипотезу острого угла, подобно Саккери, получил многочисленные следствия, обнаруживающие парадоксальные свойства в расположении прямых. [21]
Итак, мы видим, что, допустив сходимость параллельных прямых, мы можем развить систему геометрии, свободную от внутренних противоречий. Правда, это допущение не подтверждается ни одним наблюдением доступных нам геометрических фактов и в такой мере противоречит нашему геометрическому инстинкту, что делает вполне понятным отношение старых исследователей, как Саккери и Ламберт. Наше представление, руководимое созерцанием и привычными евклидовскими понятиями, может только частями и постепенно приспособляться к требованиям геометрии Лобачевского. Мы должны при этом руководствоваться больше геометрическими понятиями, чем чувственными образами доступной нам небольшой пространственной области. Должно, однако, признать, что математические количественные понятия, при помощи которых мы самодеятельно изображаем факты геометрического опыта, не абсолютно соответствуют этим последним. [22]
Саккери показывает прежде всего, что, принимая то или другое предложение относительно одного четырехугольника этого типа, мы тем самым должны принять его также относительно всех четырехугольников того же типа. Иными словами, если какой-либо один из этих четырехугольников имеет при верхнем основании, скажем, острые углы, то и все четырехугольники этого типа имеют острые же углы. Саккери называет три различных допущения которые здесь могут быть сделаны, гипотезой острого угла, гипотезой прямого угла и гипотезой тупого угла. Саккери доказывает далее, что при гипотезе тупого угла сумма углов веяного треугольника больше двух прямых, при гипотезе прямого угла она равна двум прямым, при гипотезе острого угла она меньше двух прямых. Да лее доказывается, что гипотеза прямого угла эквивалентна постулату Евклида; чтобы доказать постулат, нужно, следовательно, опровергнуть две другие гипотезы. Но если принять гипотезу тупого угла, то прямые А В и АВ сближаются по обе стороны прямой СС и сближаются настолько быстро, что по обе стороны должно произойти пересечение ( Саккери это доказывает вполне строго); а так как две прямые не могут пересекаться в двух точках, то гипотеза тупого угла отпадает. Остается опровергнуть гипотезу острого угла. Этой гипотезе Саккери посвящает обширное исследование, занимающее около 80 страниц. Саккери показывает, что при гипотезе острого угла две непересекающиеся прямые, расположенные в одной плоскости, либо имеют общий перпендикуляр, от которого они расходятся, бесконечно удаляясь друг от друга в обе стороны, либо бесконечно удаляются друг от друга в одну сторону и неограниченно сближаются в другую. Чтобы это обнаружить, строится ряд подготовительных рассуждений, часто для дела вовсе не нужных, которые, однако, Саккери проводит с безупречной строгостью. [23]
Предположив, что через точку Р, расположенную вне прямой / ( см. рис. 33), не проходит ни одной прямой, параллельной /, он также пришел к противоречию. Но в отличие от Саккери Ламберт не считал, что предположение о существовании по крайней мере двух параллельных, проходящих через точку Р, приводит к противоречию. Кроме того, Ламберт понял, что любая система аксиом, которая не приводит к противоречию, порождает свою геометрию. Любая такая геометрия логически ничему не противоречит, хотя и имеет весьма косвенное отношение к реальным физическим фигурам. [24]
С чисто математической точки зрения содержание работ Гаусса, Лобачевского и Бойаи очень просто. Отвергнув аксиому Евклида о параллельных, Лобачевский фактически принял такое же допущение, каким некогда воспользовался Саккери. [25]
Саккери показывает прежде всего, что, принимая то или другое предложение относительно одного четырехугольника этого типа, мы тем самым должны принять его также относительно всех четырехугольников того же типа. Иными словами, если какой-либо один из этих четырехугольников имеет при верхнем основании, скажем, острые углы, то и все четырехугольники этого типа имеют острые же углы. Саккери называет три различных допущения которые здесь могут быть сделаны, гипотезой острого угла, гипотезой прямого угла и гипотезой тупого угла. Саккери доказывает далее, что при гипотезе тупого угла сумма углов веяного треугольника больше двух прямых, при гипотезе прямого угла она равна двум прямым, при гипотезе острого угла она меньше двух прямых. Да лее доказывается, что гипотеза прямого угла эквивалентна постулату Евклида; чтобы доказать постулат, нужно, следовательно, опровергнуть две другие гипотезы. Но если принять гипотезу тупого угла, то прямые А В и АВ сближаются по обе стороны прямой СС и сближаются настолько быстро, что по обе стороны должно произойти пересечение ( Саккери это доказывает вполне строго); а так как две прямые не могут пересекаться в двух точках, то гипотеза тупого угла отпадает. Остается опровергнуть гипотезу острого угла. Этой гипотезе Саккери посвящает обширное исследование, занимающее около 80 страниц. Саккери показывает, что при гипотезе острого угла две непересекающиеся прямые, расположенные в одной плоскости, либо имеют общий перпендикуляр, от которого они расходятся, бесконечно удаляясь друг от друга в обе стороны, либо бесконечно удаляются друг от друга в одну сторону и неограниченно сближаются в другую. Чтобы это обнаружить, строится ряд подготовительных рассуждений, часто для дела вовсе не нужных, которые, однако, Саккери проводит с безупречной строгостью. [26]
Главнейшими из таких предложений, равносильных эвклидову постулату, были следующие: через данную точку плоскости можно провести лишь одну прямую, ие пересекающую данной прямой, лежащей в этой плоскости; все точки одной из двух параллельных прямых одинаково удалены от второй прямой; прямая линия не может целиком лежать внутри угла, образованного двумя другими прямыми; сумма углов всякого тр-ка равна двум прямым. Без труда убеждаясь в равенстве двух остальных углов, Саккери делал три различных предположения о их величине: гипотеза тупого угла, гипотеза прямого угла и гипотеза острого угла. [27]
Словом, это целая геометрическая система, соответствующая гипотезе острого угла. Но эта тонкая нить безупречных рассуждений внезапно прерывается теоремой XXXIII, в которой Саккери заявляет: Гипотеза острого угла совершенно ложна, ибо противоречит природе прямой линии. В чем же сказывается это противоречие. Рассматривая неограниченно сближающиеся прямые как пересекающиеся в бесконечно удаленной точке, Саккери приходит к заключению, что из этой бесконечно удаленной точки к обеим прямым можно было бы провести общий перпендикуляр, что противно природе прямой линии. Человек, чрезвычайно тонко разбирающий доказательства Прокла, Насир-Эддина и Клавия, искусно вылавливающий глубоко сокрытую логическую ошибку, запутывается сам в элементарных рассуждениях, потому что он не имеет твердых оснований для суждения о том, в какой мере можно пользоваться бесконечно удаленными точками. [28]
Клюгель ( 1739 - 1812), впоследствии профессор университета в Хальм-стаде, высказал весьма глубокое замечание о том, что восприятие аксиомы Евклида о параллельных как чего-то достоверного основано на человеческом опыте. В этом замечании Клюгеля впервые прозвучала мысль о том, что аксиомы опираются не столько на очевидность, сколько на опыт. Клюгель выразил сомнение в том, что аксиома Евклида о параллельных доказуема, и понял, что Саккери прлшел не к противоречию, а всего лишь к необычному результату. [29]
Из трех предположений о величинах углов при вершинах С и D: либо углы прямые, либо углы тупые, либо острые, первая гипотеза является утверждением, эквивалентным постулату Евклида о параллельных; вторая приводит к противоречию с др. аксиомами и постулатами Евклида. Относительно третьей гипотезы Дж. Саккери пришел к ошибочному выводу, что она противоречит др. аксиомам и постулатам Евклида. [30]