Cтраница 3
Можно показать, что условие (4.4) выполнено, если G - эллиптический оператор со свойством единственности продолжения. Для этого нужно применить один результат Рауха и Тейлора [2] вместе с соображениями размерности, использованными в доказательстве теоремы о локальной разрешимости. [31]
Следствие 2.9. Для эллиптического оператора Р р ( x, D) второго порядка с вещественным главным символом свойство единственности продолжения выполняется для любой гиперповерхности. [32]
Если мы хотим, чтобы наша геометрия была близка к классической дифференциальной геометрии, то мы должны добавить некоторые свойства единственности. Так как геодезические линии в дифференциальной геометрии ( и более общо - экстремали в вариационном исчислении) задаются дифференциальными уравнениями второго порядка, то при обычно принимаемых предпосылках существует точно одна такая линия ( решение соответстиующего уравнения), проходящая через заданный линейный элемент. Таким образом, геодезическая линия имеет единственное продолжение, несмотря на то, что кратчайшая дуга геодезической, соединяющая две точки даже такой простой поверхности, как сфера, не обязательно единственна. [33]
Применение одинакового обозначения ( Щ для функции в интегральном инварианте и искомого гамильтониана системы не позволяет различить в доказательстве свойство единственности и тривиальности. [34]
Из того, что суммы степенных рядов, стоящих слева и справа, совпадают в круге г - а R, следует, по свойству единственности для степенных рядов, что коэффициенты обоих рядов равны. [35]
Из условий (4.9.1) вытекает, что решения у ( t; t0, ya) можно считать определенными на полуоси t0 tf oo и обладающими свойством единственности. [36]
Так как задача (2.218), (2.219) эквивалентна интегральному уравнению (2.221), то разрешимость последнего и, стало быть, существование решения задачи (2.218), (2.219) вытекают из уже доказанного выше свойства единственности этого решения. [37]
Этого всегда можно достичь, так как, во-первых, внутри каждой области Gn содержится лишь конечное множество точек а, в которых / ( а) - - 0 ( в силу свойства единственности аналитических функций), а во-вторых, области gu могут быть взяты сколь угодно малыми. Перенумеруем теперь области ga так, чтобы две области с последовательными номерами имели общую часть, и снабдим такими же номерами соответствующие им простые или кратные кружки са. Если мы будем последовательно брать области ga, склеивая между собой те из них, которые имеют общую часть, вдоль этой части ( независимо от того, будут ли номера соседними или нет), то мы будем получать области, лежащие внутри G и заключающие при достаточно большом числе областей ga любую область G. Иными словами, области, полученные путем такого склеивания, будут аппроксимировать область G. Именно, беря кружки с. В силу однозначности функции w / ( г) этой общей части будут соответствовать одинаковые ( конгруэнтные) области на каждом из двух таких кружков Налагая последние один на другой так, чтобы эти области совпали, склеим кружки вдоль этих областей. Два кружка, для которых области g, не имеют общей части, не должны склеиваться между собой непосредственно. Увеличивая число кружков, мы будем получать новые и новые обобщенные - многолистные - области, которые все будут содержаться в обобщенной области изменения функции w f ( z) и будут ее аппроксимировать в том смысле, что при достаточно большом числе кружков мы получим любую наперед указанную точку области. Что получаемые нами путем склеивания множества точек действительно можно называть областями ( в обобщенном смысле), следует из того, что они обладают двумя характерными свойствами обычных однолистных областей. [38]
Легко видеть, что решение и ( у х): Vi ( y x), Uzi ( y x), Usi ( y, х), удовлетворяющее (1.5), обладает свойством единственности. Действительно, пусть существуют два таких решения. [39]
Предположим, что для любой пары ( jc0, t () Е Gx9i существует единственное решение ф ( х0, tn, t) системы (3.1), удовлетворяющее начальному условию ( p ( x (), / о, о) XQ. Свойство единственности гарантируется, например, условием Липшица. [40]
В практике свойство единственности имеется почти всегда. [41]
Эта система получена из системы (2.1.1) заменой времени drdt / ( p ( p), которая не нарушает геометрической картины внутри области G. Так как свойство единственности для новой системы сохраняется, то точки из области G будут подходить к точкам границы только при т - - оо или при т - - - оо. Таким образом, дуги траекторий прежней системы превратятся в полные траектории новой системы. Очевидно, множество S будет служить сечением и для первоначальной системы дуг. [42]
В классической семантике умолчаний каж: дое применимое умолчание применяется. Это препятствует наличию свойства единственности минимального расширения. Так, в примере 9.76 из-за того, что одно умолчание всегда применяется, нельзя получить единственное минимальное расширение. [43]
Как отмечалось выше, если рассматривать расширение как рациональное множество заключений, то кажется странным, что осторожная семантика сама не образует такого множества. Если же обеспечить выполнение свойства единственности минимального расширения, то с этой проблемой удается справиться. Более того, наличие свойства единственности облегчает поиск итерационных алгоритмов для вычисления осторожной версии семантики умолчаний. [44]
В этом параграфе содержатся геометрические задачи, решаемые методами векторной алгебры. Эти методы основаны на свойстве единственности разложения вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам и на свойстве единственности разложения вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам. [45]