Cтраница 2
При анализе свойств определителей было установлено, что определитель диагональной матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на главной диагонали. [16]
Воспользуемся двумя свойствами определителей: а) определитель не меняется при транспонировании; б) определитель произведения матриц равен произведению их определителей. [17]
Мы будем излагать свойства определителей на примере определителей третьего порядка ( 7), хотя все эти свойства справедливы для определителей любого порядка. [18]
Выясним еще одно свойство определителя. [19]
Все изложенные выше свойства определителей третьего порядка справедливы и для определителей произвольного порядка. [20]
Для дальнейшего изучения свойств определителя нам понадобится формула, позволяющая вычислить определитель п-го порядка непосредственно через его элементы. Вывод этой формулы потребует от нас использования некоторых дополнительных фактов, к обсуждению которых мы и переходим. [21]
На основании третьего свойства определителей такой определитель равен нулю. Но если скалярное произведение, векторов равно нулю, то это говорит о их взаимной перпендикулярности. Таким образом, векторное произведение представляет собой вектор, перпендикулярный к плоскости перемножаемых векторов. [22]
Все изложенные нами выше свойства определителей относятся к определителям любого порядка. [23]
Мы не используем то свойство определителя Вандермонда W, что он как антисимметрическая функция корней, может быть рационально выражен через коэффициенты уравнения ф и фь так как корни уравнения нам все равно требуется вычислять. [24]
Эта инвариантность вытекает из свойств определителей. [25]
Скажем несколько слов о свойствах определителей и об определителях высшего порядка. [26]
Под антисимметрией относительно столбцов понимают свойство определителя менять знак при перестановке двух столбцов. Определитель, полученный после перестановки столбцов, будет состоять, очевидно, из тех же самых членов, что и исходный определитель. Рассмотрим какой-нибудь из членов исходного определителя. Этот член в своем составе имеет элемент из / - го столбца и элемент из ( y - f - l) - ro столбца. Если отрезок, соединяющий эти два элемента, имел отрицательный наклон, то после перестановки столбцов его наклон станет положительным, и наоборот. Что же касается остальных отрезков, соединяющих попарно элементы выделенного члена, то после перестановки столбцов характер наклона каждого из них останется неизменным. Следовательно, количество отрезков с отрицательным наклоном, соединяющих элементы данного члена, при перестановке столбцов заведомо изменяется на единицу; поэтому каждый член определителя, а следовательно, и сам определитель, при перестановке столбцов меняет знак. [27]
Под антисимметрией относительно столбцов понимают свойство определителя менять знак при, перестановке двух столбцов. Определитель, полученный после перестановки столбцов, будет состоять, очевидно, из тех же самых членов, что и исходный определитель. Рассмотрим какой-нибудь из членов исходного определителя. Этот член в своем составе имеет элемент из у - го столбца и элемент из ( / -) - 1) - го столбца. Если отрезок, соединяющий эти два элемента, имел отрицательный наклон, то после перестановки столбцов его наклон станет положительным, и наоборот. Что же касается остальных отрезков, соединяющих попарно элементы выделенного члена, то после перестановки столбцов характер наклона каждого из них останется неизменным. Следовательно, количество отрезков с отрицательным наклоном, соединяющих элементы данного члена, при перестановке столбцов заведомо изменяется на единицу; поэтому каждый член определителя, а следовательно, и сам определитель, при перестановке столбцов меняет знак. [28]
Доказанное свойство перестановок позволяет получить свойства определителей. [29]
Первые три свойства следуют из свойств определителя. [30]