Cтраница 3
Если соотношения между событиями наглядно описываются соотношениями между изображающими их фигурами на плоскости ( см. рис. 2), то свойства вероятностей вполне аналогичны свойствам площадей этих фигур. [31]
Заметим, что вероятности, стоящие в любой из четырех клеток табл. 24, представляют собой произве дения вероятностей событий, отвечающих соответствующей строке и столбцу таблицы. Это свойство вероятностей независимых событий легко проверить: если какой-либо один элемент таблицы, аналогичной табл. 23, равен произведению суммы всех элементов соответствующей строки на сумму всех элементов соответствующего столбца, то любой другой элемент таблицы также обладает этим свойством. [32]
Изучение свойств вероятностей событий на основе этих простых соотношений и составляет предмет В. [33]
Эти законы учитываются свойствами вероятности перехода W. [34]
Свойств операций над событиями можно отметить великое множество, например дополнение к сумме событий равно пересечению их дополнений; дополнение же к пересечению есть, наоборот, сумма дополнений. Свойствам операций отвечают и какие-то свойства вероятностей. Однако основные фор мулы исчисления, которые исчерпывают значительную часть того, что обычно требуется в выкладках, уже приведены. [35]
Понятие вероятностного пространства дает возможность положить в основу построения теории вероятностей методы теории множеств, теории меры и функционального анализа. В частности, все выводимые дальше свойства вероятностей и многие другие, которыми приходится пользоваться для построения более сложных разделов теории вероятностей-теории, случайных функций и др., непосредственно, вытекают из общих свойств меры. [36]
Понятие вероятностного пространства дает возможность положить в основу построения теории вероятностей методы теории множеств, теории меры и функционального анализа. В частности, все выводимые дальше свойства вероятностей и многие другие, которыми приходится пользоваться для построения более сложных разделов теории вероятностей - теории случайных функций и др., непосредственно вытекают из общих свойств меры. [37]
Аксиомы, приводимые в определении, не являются произвольно придуманными. Они заимствованы из практики и отражают именно те свойства вероятности, которые нужны для приложений и которые были установлены нами выше для классического определения. [38]
При этом мы исходим из свойств частот и свойств вероятности в изложенных выше вероятностных моделях экспериментов. [39]
Приведенное эмпирическое определение статистической устойчивости и вероятности события характеризует естественно-научнее содержание понятия вероятности, но не является его формальным определением. Чтобы прийти к формальному определению вероятности, следует аксиоматизировать свойства вероятности, вытекающие из того естественно-научного содержания этого понятия, которое мы желаем ему приписать. После того как аксиомы будут сформулированы, мы можем произвольную систему величин, удовлетворяющих сформулированной системе аксиом, называть вероятностью. Разумеется, при дальнейшем развитии формальной теории несущественно, какой реальный смысл вкладывается в понятие вероятности, но если мы захотим применить результаты теории к явлениям реального мира, то нужно дать интерпретацию отношения понятия вероятности к объективным явлениям природы. В дальнейшем мы будем придерживаться ранее высказанной точки зрения: вероятность события А есть число, близкое к частоте наступления события А в длинной серии тождественных экспериментов. [40]
Как подчеркивалось выше, классическое определение вероятностей относится к такому случаю, когда исходы испытания можно представить в виде полной группы равновозможных событий. Интересно отметить, что в этом случае классическая формула (1.1) является единственной, которая согласуется с основными тремя свойствами вероятностей. [41]
С точки зрения математики, это дифференциальное уравнение второго порядка, так как содержит д2 / ( дх. Его решение W ( r) должно быть таким, чтобы выражение ( г) ] 2 обладало свойством вероятности, в частности, не было разрывной функцией координат и нигде не обращалось в бесконечность. [42]
Если соотношения между различными событиями наглядно описываются соотношениями между изображающими их фигурами на плоскости ( см. рис. 5), то свойства вероятностей вполне аналогичны свойствам площадей этих фигур. [43]
Это определение вероятности называется геометрическим. В рассматриваемом испытании каждому событию соответствует некоторая облазь. Это облегчает изучение свойств вероятности и различных связей между событиями. [44]