Cтраница 3
Формулы ( 1) - ( 10) используются в логике для доказательства других формул точно так же, как в обычной алгебре при проведении тождественных преобразований используются свойства сложения и умножения чисел: пере-местительное, сочетательное, распределительное и другие. [31]
Мы очутились в странной ситуации, в которой возможно типографским путем производить теоремы о сложении любых конкретных чисел, но даже такая простая строчка, как приведенная выше, выражающая свойство сложения в общем, не является теоремой. Вы, возможно, найдете это не таким уж странным, поскольку мы уже были в похожей ситуации с системой рг. Однако система рг не имела претензий по поводу своих возможностей; на самом деле, там было невозможно даже выразить общие свойства, а тем более, доказать их. В той системе просто не было соответствующего оборудования - при этом нам и в голову не приходило, что система была дефектна. Однако у ТТЧ возможностей гораздо больше; соответственно, мы ожидаем от нее большего, чем от системы рг. Если приведенная выше строчка - не теорема, то у нас есть основания подозревать, что в ТТЧ есть какой-то дефект. На самом деле, существует даже название для систем с подобным дефектом - они называются ю-неполными. Символ V - омега - выбран потому, что иногда все множество натуральных чисел обозначается этой буквой. [32]
Подобно тому как целые числа образуют алгебраическую систему [ Z, , х ] с двумя бинарными арифметическими операциями сложения и умножения, множество всех частей 3 ( U) любого множества U образует алгебраическую систему [ 9 ( U), П 11, ] с тремя теоретико-множественными операциями, которые были описаны выше. Свойства сложения и умножения в Z позволяют отнести систему [ Z, , х ] к классу коммутативных колец ( см. гл. [33]
Не все требования I - V, входящие в определение кольца, являются в одинаковой мере необходимыми. Развитие науки показывает, что в то время как свойства сложения I и II и закон дистрибутивности V имеют место во всех приложениях, включение в определение кольца свойств умножения III и IV часто оказывается излишне стеснительным, суживая возможную область примени-мости этого понятия. Так, множество квадратных матриц порядка п с действительными элементами, рассматриваемое с операциями сложения и умножения матриц, удовлетворяет всем требованиям, входящим в определение кольца, за исключением закона коммутативности умножения. [34]
Если мы обратим внимание на определение суммы ординалов, то увидим, что сумма кардиналов в смысле сложения ординалов ( ведь кардиналы являются ординалами) вообще говоря отлична от суммы кардиналов, поэтому эти понятия следует различать. Кроме того, сумма кардиналов обладает гораздо большим числом обычных арифметических свойств сложения, чем сумма ординалов. Для натуральных чисел, как нетрудно проверить, сумма кардиналов совпадает с обычной суммой натуральных чисел. Рассмотрим некоторые свойства сложения кардиналов. [35]
Операции объединения и пересечения событий обладают рядом свойств, аналогичных свойствам сложения и умножения чисел. [36]
Доказательство их производится простой проверкой. Эти свойства играют большую роль: в совокупности с правилами и свойствами сложения и умножения на число они позволяют оперировать векторными выражениями как обычными алгебраическими многочленами. Эта особенность широко используется в дальнейшем. [37]
Аксиома 1 сообщает что-то о числе 0; аксиомы 2 и 3 говорят о свойствах сложения; аксиомы 4 и 5 говорят о свойствах умножения и о его отношении к сложению. [38]
Эта формализованная арифметика, разумеется, имеет счетную ординарную семантическую модель, а именно естественную модель в множестве всех положительных целых чисел. Грубо говоря, в каждом несчетном множестве можно определить сложение и умножение с темп же свойствами, какими обладают сложение и умножение в области всех положительных целых чисел, Более точно, существует интерпретация 3 языка формализованной арифметики в множестве), которая превращает в алгебру с двумя бинарными операциями и -, обладающими свойствами сложения и умножения положительных целых чисел; соответствующая реализация 3 ( используются обозначения § 4, ( 1), стр. [39]
Эта формализованная арифметика, разумеется, имеет счетную ординарную семантическую модель, а именно естественную модель в множестве всех положительных целых чисел. Грубо говоря, в каждом несчетном множестве / можно определить сложение и умножение с теми же свойствами, какими обладают сложение и умножение в области всех положительных целых чисел, Более точно, существует интерпретация 3 языка формализованной арифметики в множестве), которая превращает J в алгебру с двумя бинарными операциями и -, обладающими свойствами сложения и умножения положительных целых чисел; соответствующая реализация S ( используются обозначения § 4, ( 1), стр. [40]
Такие ситуации можно и обязательно нужно создавать в обучении много и часто. Учащиеся изучают сложение рациональных чисел. Предварительно повторяют свойства сложения натуральных чисел, вспоминают, что сумма всегда больше каждого слагаемого. [41]
Если, как на рис. 7, векторы b и а имеют общее начало, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от вычитаемого к уменьшаемому. Ее свойства вытекают из свойств сложения, и мы не будем их отдельно формулировать. [42]
Подобно тому как действие сложения может быть применено к любому числу слагаемых, другое арифметическое действие - умножение - также применяется к сколь угодно большому числу сомножителей. В случае сложения мы, заставляя число слагаемых возрастать безгранично и применяя идею предельного перехода, пришли к понятию суммы бесконечного ряда. Так как свойства умножения во многом подобны свойствам сложения, то у нас есть все основания ожидать, что, заставляя число сомножителей безгранично возрастать, мы с помощью идеи предельного перехода придем к новым плодотворным понятиям. [43]
Древние греки очень долго не знали о существо-вании каких-либо чисел, отличных от рациональных, И даже после их знаменитого открытия иррациональ-ности числа ] / 2 они не пришли к общему понятию числа: число всегда оставалось для них связанным с геометрией. Мы не должны никоим образом повторять эту ошибку. Как можно раньше ребенок должен получить представление о множестве R чисел как о линейно упорядоченном поле: другими словами, он должен осознать, что в процессе счета он из всех свойств сложения и умножения использует лишь небольшое число свойств, которые математики называют аксиомами линейно упорядоченного поля. [44]
Если мы обратим внимание на определение суммы ординалов, то увидим, что сумма кардиналов в смысле сложения ординалов ( ведь кардиналы являются ординалами) вообще говоря отлична от суммы кардиналов, поэтому эти понятия следует различать. Кроме того, сумма кардиналов обладает гораздо большим числом обычных арифметических свойств сложения, чем сумма ординалов. Для натуральных чисел, как нетрудно проверить, сумма кардиналов совпадает с обычной суммой натуральных чисел. Рассмотрим некоторые свойства сложения кардиналов. [45]