Cтраница 4
В то же время кто-то подсчитывает эти же палочки, начиная с другого конца. Читателю, вероятно, понятно, что результат получится одинаковый. Результат подсчета не зависит от того, как этот подсчет делается. Было бы бессмысленно пытаться доказать это предположение о свойствах сложения, настолько оно первично: либо вы его понимаете, либо нет - но в последнем случае вам не поможет никакое доказательство. [46]
Но умножение - не единственная известная нам операция, производимая над числами. Рассмотрим теперь сложение чисел некоторых типов. Но прежде чем мы приступим к рассмотрению частных случаев, выясним, нельзя ли некоторые свойства сложения установить в общем виде или свести к проверке более простых условий. [47]
С, суммой векторов О А и 0В является вектор ОС. Легко проверить, что, проектируя четырехугольник О АС В из центра сферы на касательное евклидово пространство, мы получим параллелограмм. Значит, определение Котель-никова эквивалентно определению такого вектора неевклидова пространства с тем же началом, для которого соответственный вектор касательного евклидова пространства является суммой векторов этого пространства, соответствующих данным двум векторам неевклидова пространства. Из этого определения ясно, что определенное таким образом сложение векторов неевклидова пространства обладает всеми свойствами сложения векторов евклидова пространства. Заметим, что, складывая векторы пространства Лобачевского, начала и концы которых находятся внутри абсолюта, мы можем получить вектор с тем же началом и концом вне или на абсолюте. [48]
В арифметике, представленной системой аксиом I - VIII с рекурсивными равенствами, формально выводимы все теоремы известной нам элементарной арифметики. По-видимому, в ней выводимы также и все теоремы существующей в настоящее время теории чисел. То обстоятельство, что теория чисел широко использует средства и идеи анализа, доказывает только, что в этих сред ствах заключаются богатые эвристические элементы, позволяющие отыскивать подходы и пути для решения трудных проблем теории чисел. Но вместе с тем вполне возможно, что формальное доказательство любой теоремы теории чисел может быть проведено средствами одной аксиоматической арифметики. Мы ограничимся здесь формальным выводом самых основных теорем элементарной арифметики, именно - мы выведем свойства сложения и умножения. [49]