Cтраница 3
Алгебра А, как В-модуль, конечно порождена. Подалгебра В выбирается неоднозначно, однако ряд свойств В-модуля А не зависят от ее выбора. В тоже градуирована), то свойство алгебры А быть свободным В-модулем не зависит от выбора В. [31]
Комплексные алгебры Ли устроены проще, чем вещественные. Поэтому обычным приемом изучения вещественных алгебр Ли является их Комплексификация. Для того чтобы таким способом можно было что-то доказать, нужно знать, какие свойства алгебр Ли сохраняются при комплексификации. В этом пункте мы докажем, что к числу таких свойств относятся разрешимость и полупростота. [32]
Любое векторное пространство, в котором определена операция с этими свойствами, называется алгеброй Ли. Обратное также верно: каждая алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой группы Ли. Между группами Ли и их алгебрами Ли существует тесная связь: многие свойства групп находят свои аналоги в свойствах алгебр Ли. Однако алгебра Ли полностью определена, если мы знаем структуру некоторой окрестности единицы группы. [33]
Задача разделяется на две части. Сначала изучается специальный класс разрешимых алгебр - так называемые расщепляемые алгебры. Все такие алгебры допускают разложение в полупрямую сумму своего максимального нильпотентного идеала - ядра алгебры и некоторой особой коммутативной подалгебры. Свойства расщепляемой алгебры легко усматриваются из свойств такого разложения, и основным инвариантом, определяющим разрешимую расщепляемую алгебру, является ее ядро. [34]
В § 2 мы принимаем критерий Картана за определение понятия полупростой алгебры Ли. Как мы покажем, это последнее условие равносильно полупростоте рассматриваемой алгебры. Доказательство теоремы Картана, которое мы даем в § 2, существенно облегчается знакомством со свойствами линейных алгебраических алгебр ( ср. [35]