Cтраница 3
К числу таких задач относятся вырожденные системы линейных алгебраич. К уравнения равен одному из собственных значений ядра. [31]
Я есть наименьшее по абсолютной величине собственное значение ядра. [32]
Этот результат показывает, что все решения уравнения ( 7) в условиях теоремы ограничены одним числом. Но тогда К не может быть собственным значением ядра) К ( х, s) и уравнение ( 7) имеет решение и только одно. [33]
При этом, как видно из соотношения (6.30), функции у ( х) и Ф ( х) одновременно либо равны, либо не равны тождественно нулю. А является ( или не является) собственным значением ядер К и Т одновременно. [34]
Мы познакомились с простейшим случаем уравнения (10.53), когда вырожденное уравнение (10.55) имеет единственное решение. Возникает естественный вопрос: какова будет асимптотика решения задачи (10.53), (10.54), если Л - 1 является собственным значением ядра K ( x z) / A ( x) и, таким образом, вырожденное уравнения (10.55) либо имеет бесконечное множество решений, либо ни одного. [35]
Основной результат теории следующий ( теорема Фред-гольма) [10], [ И ]: 1) если не есть собственное значение ядра К ( х, s), то соответствующее неоднородное интегральное уравнение Фредгольма ( 2) с регулярным ядром К ( х, s) и непрерывным свободным членом f ( x) имеет единственное непрерывное решение у ( х) ( а х Ь); 2) если же X есть собственное значение, то неоднородное уравнение ( 2) или не имеет решений, или же допускает бесчисленное множество их. [36]
Для него может быть поставлена задача на собственные значения. Параметры i, при которых уравнение (9.6) имеет отличные от нуля решения у ( pi ( x), называются собственными значениями ядра K ( x s) или уравнения (9.6), а отвечающие им решения у ( pi ( x) - собственными функциями. [37]
Это уравнение допускает нулевое ( тривиальное) решение y ( x) Q. Для него может быть поставлена задача на собственные значения. Параметры X, при которых уравнение (9.6) имеет отличные от нуля решения y qi ( x), называются собственными значениями ядра - К ( х, s) или уравнения (9.6), а отвечающие им решения fi ( x) - собственными функциями. [38]
Действительно, пусть имеются два решения уравнения (6.1) и у ( х) - их разность. Тогда у ( х) удовлетворяет однородному уравнению у ХАу. По предположению, Л не совпадает ни с одним собственным значением ядра К ( х, s), а тогда однородное уравнение имеет лишь тривиальное решение. Отсюда, у ( х) 0, а значит, решение (6.1) единственно. [39]