Cтраница 3
Центр пучка или связки может быть расположен как в изображаемой, так и в неизображаемой части пространства. И в том, и в другом случает центр связки или пучка прямых можно задать двумя проходящими через него прямыми и, определив точку пересечения перспектив этих прямых, найти перспективу центра. Если центр пучка или связки прямых расположен в нейтральной плоскости, то построить его перспективу нельзя, так как она бесконечно удалена. [31]
Следовательно, пучок прямых есть форма 1 - й ступени сама себе двойственная. Плоскому полю прямых двойственна связка прямых. [32]
Центром пучка может быть как собственная, так и несобственная точка. Система параллельных прямых одной плоскости является пучком прямых с несобственным центром. Совокупность пересекающихся в одной точке прямых, не принадлежащих одной плоскости, называется связкой прямых, а точка их пересечения - центром связки. Центр связки может быть собственной или несобственной точкой. [33]
Простейшей моделью проективной плоскости является четырехугольник вместе со своими диагоналями. Эта плоская конфигурация содержит шесть прямых и семь точек. Легко проверить, что здесь выполняются все приведенные выше аксиомы проективной плоскости. В этой модели число точек и прямых конечное. Интересную и важную для дальнейшего модель проективной плоскости с непрерывным распределением бесконечного числа точек и прямых представляет связка прямых в пространстве. Связкой называется бесконечное множество всех прямых, проходящих через фиксированную точку пространства. Если каждую прямую связки назвать точкой, а плоскости назвать прямыми ( плоскости также проходят через фиксированную точку), то для таких точек и прямых выполняются все аксиомы проективной плоскости. Эта модель интересна тем, что здесь нет надобности вводить понятия несобственных элементов. Все точки и прямые здесь равноправны. [34]
На первом году ( для 12-летних) давался вводный курс, который ниже будет описан более подробно. На пятом году повторяли и упорядочивали теорию, причем число недоказанных предложений резко сокращалось. Пучки и связки прямых и плоскостей рассматривались как пример плоской неевклидовой геометрии - чтобы установить, какие предложения евклидовой геометрии остаются в силе, возможно ли и как именно доказать их в общем виде. [35]
В следующем параграфе мы увидим, что с точки зрения проективной геометрии, изучающей так называемые проективные свойства проективной плоскости, все ее модели совершенно равноправны ( изоморфны), являясь, таким образом, лишь различными реализациями одной и той же абстрактной проективной плоскости. Тем самым, изучая проективные свойства проективной плоскости, всегда можно представлять ее себе, смотря по надобности, в виде той или иной из этих моделей. Реализация проективной плоскости в виде евклидовой плоскости, пополненной несобственными элементами, особенно важна для применений к геометрии евклидовой плоскости. Реализация в виде связки прямых и плоскостей важна тем, что дает возможность установить связь между проективной геометрией проективной плоскости и аффинной геометрией евклидова пространства. [36]